-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_09.09.tex
363 lines (251 loc) · 27.5 KB
/
LL_6_09.09.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
\section{Гофрировочная неустойчивость ударных волн}\label{sec:p90}
Соблюдение условий эволюционности само по себе необходимо, но еще недостаточно
для гарантирования устойчивости ударной волны. Волна может оказаться
неустойчивой по отношению к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль
поверхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или «гофрировку», на
этой поверхности (такого рода возмущения рассматривались уже в § 29 для
тангенциальных разрывов)1). Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для
ударных волн в произвольной среде (С. П. Дьяков, 1954).
Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0; жидкость движется сквозь
нее слева направо, в положительном направлении оси х. Пусть поверхность разрыва
испытывает возмущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси х на малую
величину
где ky — волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызывает возмущение
течения позади ударной волны, в области х > 0 (течение же перед разрывом, х <
0, не испытывает возмущения в силу своей сверхзвуковой скорости).
Произвольное возмущение течения складывается из энтропийно-вихревой волны и
звуковой волны (см. задачу к § 82). В обоих зависимость величин от времени и
координат дается множителем вида expi(kr — ) с той же частотой со, что и в
(\ref{eq:90.1}). Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор к лежит
в плоскости ху его -компонента совпадает с ky в (\ref{eq:90.1}), а х-компонента
различна для возмущений двух типов.
В энтропийно-вихревой волне kv2 = со, т. е. = co/y2 (V2 — невозмущенная
скорость газа за разрывом). В этой волне возмущение давления отсутствует,
возмущение удельного объема связано с возмущением энтропии, 6У(ЭНТ) =
(dV/ds)p8s, а возму-
1) Неустойчивость по отношению к таким возмущениям называют гофри-ровочной
(corrugation Instability по английской терминологии).
щение скорости подчинено условию
(\ref{eq:90.2})
В звуковой волне в движущемся газе связь между частотой и волновым вектором
дается равенством (со — kv)2 = c262 (см. (\ref{eq:68.1})); поэтому kx в этой
волне определяется уравнением
(со -kxv2y = d(kl + kl). (\ref{eq:90.3})
Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны соотношениями:
(\ref{eq:90.4})
(\ref{eq:90.5})
Возмущение в целом представляется линейной комбинацией возмущений обоих типов:
(\ref{eq:90.6})
Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям на возмущенной
поверхности разрыва.
Прежде всего, на этой поверхности должна быть непрерывна тангенциальная к ней
составляющая скорости, а скачок нормальной составляющей должен выражаться через
возмущенные давление и плотность равенством (\ref{eq:85.7}). Эти условия
записываются как
где t и n — единичные векторы касательной и нормали к поверхности разрыва (рис.
59). С точностью до величин первого порядка малости компоненты этих векторов (в
плоскости ху) равны 1) и n(1,—ik) выражение iki возникает как производная
dt,/dy. С этой же точностью граничные условия для скорости принимают вид
2 L pi — pi Vi Далее, возмущенные значения p2 + бр и V2 + 6V2 должны
удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и невозмущенные р2 и У2.
Отсюда получаем условие, связывающее бр и 8V:
где производная берется вдоль адиабаты.
(\ref{eq:90.8})
Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между потоком вещества через
поверхность разрыва и скачками давления и плотности на ней. Для невозмущенного
разрыва это соотношение выражается формулой (\ref{eq:85.6}), а для возмущенного
аналогичное соотношение есть
где u — скорость точек поверхности разрыва. В первом приближении по малым
величинам имеем un = —uразлагая написанное равенство также и по степеням бр и
6V, получим:
Равенства (\ref{eq:90.2}), (90,4—5), (90,7—9) составляют систему восьми
линейных алгебраических уравнений для восьми величин Условие совместности этих
уравнений (выражаемое равенством нулю определителя их коэффициентов) имеет вид:
где для краткости обозначено h — (dVifdpi), а / имеет обычный смысл: j = Vi/Vi
= V2/V2. Величину kx в (\ref{eq:90.10}) надо понимать как функцию ky и <о,
определяемую равенством (\ref{eq:90.3}).
Условие неустойчивости состоит в существовании возмущений, экспоненциально
возрастающих со временем, причем они должны экспоненциально убывать с удалением
от поверхности разрыва (т. е. при лс-:оо); последнее условие означает, что
источником возмущения является сама ударная волна, а не какой-то внешний по
отношению к ней источник. Другими словами, волна неустойчива, если уравнение
(\ref{eq:90.10}) имеет решения, у которых
(\ref{eq:90.11})
Исследование уравнения (\ref{eq:90.10}) на предмет выяснения условий
существования таких решений довольно громоздко. Мы не будем производить его
здесь, ограничившись указанием окончательного результата2). Гофрировочная
неустойчивость ударной
') Все эти равенства берутся при х =»= 0, и под перечисленными величинами в них
могут подразумеваться постоянные амплитуды, без переменных экспоненциальных
множителей.
2) Это исследование можио иайти в оригинальной статье: Дьяков С. П.— ЖЭТФ,
1954, т. 27, с. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и менее строгое,
но более наглядное обоснование условий (90,12—13),
волны возникает если
или
(\ref{eq:90.13})
напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты (при заданных рь Vi)
').
Условия (90,12—13) отвечают наличию у уравнения (\ref{eq:90.10}) комплексных
корней, удовлетворяющих требованиям (\ref{eq:90.11}). Но в определенных
условиях это уравнение может иметь также и корни с вещественными © и kx,
отвечающие «уходящим» от разрыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным
вол-нам, т. е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва. Мы будем
говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчивости ударной волны, хотя
неустойчивости в буквальном смысле здесь нет, — раз созданное на поверхности
разрыва возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не
затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми волнами,
черпается из всей движущейся среды2).
Для определения условий возникновения этого явления, преобразуем уравнение
(\ref{eq:90.10}), введя угол 0 между к и осью jq тогда
(coo — частота звука в системе координат, движущейся вместе с газом за ударной
волной), и получаем квадратное относительно cos 9 уравнение:
Скорость распространения звуковой волны в движущемся со скоростью газе, по
отношению к неподвижной поверхности
') Отметим, что при выводе (90,12—13) используется только обязательное условие
(\ref{eq:88.1}), но не используется неравенство рг> р. Поэтому эти условия
неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, которые могли бы
существовать при (d2 Vldp2)s <. 0.
2) Сравните с аналогичной ситуацией для тангенциальных разрывов — задача 2 §
84.
разрыва, есть y2 + c2cos0. Звуковая волна будет уходящей, если эта сумма
положительна, т. е. если
(\ref{eq:90.16})
(значения cosOCO отвечают случаям, когда вектор к направлен в сторону разрыва,
но снос звуковой волны движущимся газом делает ее все же «уходящей»).
Спонтанное излучение звука ударной волной возникает, если уравнение
(\ref{eq:90.15}) имеет корень, лежащий в этих пределах. Простое исследование
приводит к следующим неравенствам, определяющим область этой неустойчивости '):
(\ref{eq:90.17})
(нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают нижнему и верхнему пределам
в условиях (\ref{eq:90.16})). Область (\ref{eq:90.17}) примыкает к области
неустойчивости (\ref{eq:90.13}), расширяя ее.
К происхождению неустойчивости ударных волн в области (\ref{eq:90.17}) можно
подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от
поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку
ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой
скоростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади волны будем иметь,
наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и
энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь).
Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к
задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с
подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в
граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей)
звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем
иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности
играют члены с амплитудой падающей волны. Решение этой системы дается
выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,—
как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение
спонтанных возмущений (\ref{eq:90.10}). Тот факт, что в области
(\ref{eq:90.17}) это уравнение имеет вещественные корни для cos 0, означает,
что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения),
при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор-
') Эга неустойчивость тоже была указана С. П. Дьяковым (1954); правильное
значение нижней границы в (\ref{eq:90.17}) найдено В. М. Конторовичем (1957).
мулировка возможности спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей
извне звуковой волны.
То же самое относится и к коэффициенту прохождения звука, падающего на
поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В этом случае не существует
отраженной волны, а позади поверхности разрыва возникают прошедшие звуковая и
энтропийно-вихревая волны. В области (\ref{eq:90.17}) возможно обращение
коэффициента прохождения в бесконечность ').
Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принципе, типах ударных адиабат,
содержащих области рассмотренных неустойчивостей2).
Условие (\ref{eq:90.12}) требует отрицательной производной dp2/dV2, причем
ударная адиабата должна быть наклонена (к оси абсцисс) в точке 2 менее круто,
чем проведенная в нее хорда 12 (т. е. обратно тому, что имеет место в обычных
случаях — рис. 53). Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис.
60; условие неустойчивости (\ref{eq:90.12}) выполняется на участке ab.
Условие (\ref{eq:90.13}) требует положительности производной dpi/dVi, причем
наклон адиабаты должен быть достаточно мал. На рис. 60 это условие выполняется
на определенных отрезках адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и b и
расширяющих, таким образом, область неустойчивости. Условие (\ref{eq:90.13})
может оказаться выполненным и на участке (cd на рис. 61) адиабаты, не
содержащей участка типа ab.
') Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на ударной волне при
произвольных направлениях падения в произвольных средах — см. Дьяков С. П. —
ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 948, 962; Конторович В. М,—ЖЭТФ, 1957, т. 33, с. 1527;
Акустический журнал, 1959, т. 5, с. 314.
2) В политропном газе А =» —(йМ)2, в чем легко убедиться с помощью полученных в
§ 89 формул. Ни одно из условий (90,12—13) и (\ref{eq:90.17}) при этом заведомо
не выполняется, так что ударная волна устойчива. Устойчивы, конечно, также и
ударные волны слабой интенсивности в произвольной среде.
Условие (\ref{eq:90.17}) еще менее жестко, чем (\ref{eq:90.13}) и еще
дополнительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гю-гонио с dpi/dV2
> 0. Более того, нижний предел в (\ref{eq:90.17}) может быть отрицательным, так
что неустойчивость этого типа может, в принципе, иметь место и в некоторых
участках адиабат обычного вида, со всюду отрицательной производной dp2/dV
Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан
со,следующим замечательным обстоятельством: при выполнении условий
(\ref{eq:90.12}) или (\ref{eq:90.13}) решение ггдродинами-ческих уравнений
оказывается неоднозначным (С. S. Gardner, 1963). Для двух состояний среды, / и
2, связанных друг с другом соотношениями (85,1—3), ударная волна является
обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, переводящем среду
из состояния 1 в 2. Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия
(\ref{eq:90.12}) или (\ref{eq:90.13}), то решение указанной гидродинамической
задачи не однозначно: переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не
только в ударной волне, но и через более сложную систему волн. Это второе
решение (его можно назвать распадным) состоит из ударной волны меньшей
интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и из изэнтропической
нестационарной волны разрежения (см. ниже § 99), распространяющейся
(относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении; в
ударной волне энтропия увеличивается от si до некоторого значения s3 С s2, а
дальнейшее увеличение от S3 до заданного s2 происходит скачком в контактном
разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рис. 78, б;
предполагается выполненным неравенство (\ref{eq:86.2}))').
Вопрос о том, чем определяется отбор одного из двух решений в конкретных
гидродинамических задачах, не ясен. Если отбирается распадное решение, то это
означало бы, что неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением
поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор
не может быть связан именно с этой неустойчивостью, поскольку неоднозначность
решения не ограничена условиями (90,12—13) 2).
Задачи
1. На ударную волну падает сзади (со стороны сжатого газа) нормально к ней
плоская звуковая волна. Определить коэффициент отражения звука.
') В статье Gardner С. S. — Phys. Fluids, 1963, v. 6, p. 1366 это показано для
области (\ref{eq:90.13}). Более общее рассмотрение, включающее н область
(\ref{eq:90.12}), дано Кузнецовым Н. А1 — ЖЭТФ, 1985, т. 88, с. 470; там же
рассмотрены ударные адиабаты с нарушением условия (d2V/dp2)s > 0, когда
распадные решения складываются из других совокупностей воли.
2) По-видимому, область неоднозначности простирается иа ударной адиабате
несколько за пределы области неустойчивости, определяемой этими условиями. Cmi
об этом указанную выше статью Н. М. Кузнецова,
Решение. Рассматриваем процесс в системе координат, в которой ударная волна
покоится, а газ движется через нее в положительном направлении оси х\ падающая
звуковая волна распространяется в отрицательном направлении оси х. При
нормальном падении (а потому и отражении) в отраженной энтропийной волне
скорость 6v,3HI = 0. Возмущение давления: бр = = бр,зв + бр'0, где индекс
(0) относится к падающей, а индекс (зв) — к отраженной звуковым волнам. Для
скорости 5vx = имеем
(разность вместо суммы возникает ввиду противоположных направлений
распространения обоих волн). Второе из граничных условий (\ref{eq:90.7}) имеет
прежний вид (но в нем теперь;с учетом (\ref{eq:90.8}) и формулы (\ref{eq:85.6})
переписываем его как
Приравняв друг другу оба выражения dv, получим для искомого отношения амплитуд
давления в отраженной и падающей звуковых волнах:
(где М2 = о2/с2). Оно обращается в бесконечность иа верхней границе области
(\ref{eq:90.17})
Для политропного газа h — — Mj~2. При слабой интенсивности ударной волны (рг —
pipi) отношение (1) стремится к нулю как (рг — pi)2, а в обратном случае
большой интенсивности стремится к постоянному пределу
2. На ударную волну падает спереди, нормально к ней, плоская звуковая волна.
Определить коэффициент прохождения звука ').
Решение. Возмущение в газе 1 перед ударной волной
а в газе 2 позади нее:
(индексы (0), (зв), (энт) относятся к падающей звуковой и к прошедшим звуковой
и энтропийным волнам). Возмущения брг и SV2 связаны друг с другом соотношением,
следующим из уравнения ударной адиабаты: если последнее выражено в виде V2 =
V2(p2: pi, Vi), то
' Для политропного газа эта задача рассматривалась Д. И. Блохинце-вым (1945) и
Бюргерсом (/. М. Burgers, 1946).
(индекс Н у производных указывает, что они берутся вдоль адиабаты Гю-гонно1).
Граничное условие (\ref{eq:90.7}) заменяется теперь на
Приравняв два выражения для бог — боь получим для искомого отношения амплитуд в
прошедшей и падающей звуковых волнах:
где h имеет прежнее значение, а
Для политропного газа
у + 1 М и коэффициент прохождения:
При слабой интенсивности ударной волны отсюда получается УЗВ| , V+1 Pi-Pi
а в обратном случае большой интенсивности:
В обоих случаях амплитуда давления в прошедшей звуковой волне возрастает по
сравнению с давлением в падающей волне.