-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_09.06.tex
175 lines (156 loc) · 11.9 KB
/
LL_6_09.06.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
\section{Направление и изменение величин в ударной волне}\label{sec:p87}
Таким образом, в предположении положительности производной \ref{eq:86.2} для
ударных волн слабой интенсивности можно весьма просто показать, что условие
возрастания энтропии с необходимостью приводит также и к неравенствам
\begin{eqnarray}
\label{eq:87.1}
p_2 > p_1 & \\
\label{eq:87.2}
v_1 > c_1, \quad v_2 < c_2.
\end{eqnarray}
Из замечания, сделанного по поводу формулы \ref{eq:85.6} следует, что если $p_2>p_1$ то
\begin{equation}
\label{eq:87.3}
V_2 < V_1,
\end{equation}
а поскольку $j = v_1/V_1 = v_2/V_2$, то и \footnote{Если перейти в систему
отсчета, в которой газ $1$ перед ударной волной покоится, а волна движется, то
неравенство $v_1 > v_2$ означает, что газ позади ударной волиы будет двигаться (со
скоростью $v_1 - v_2$) в ту же сторону, куда движется сама волна.}
\begin{equation}
\label{eq:87.4}
v_1 > v_2.
\end{equation}
Неравенства \ref{eq:87.1} и \ref{eq:87.3} означают, что при прохождении газа
через ударную волну происходит его сжатие — его давление и плотность
возрастают. Неравенство $v_1>c_1$ означает, что ударная волна движется
относительно находящегося перед ней газа со сверхзвуковой скоростью; ясно
поэтому, что в этот газ не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны
возмущения. Другими словами, наличие ударной волны вовсе не сказывается на
состоянии газа впереди нее.
Покажем теперь, что все неравенства (\ref{eq:87.1}-\ref{eq:87.4}) справедливы и для
ударных волн произвольной интенсивности — при том же предположении о знаке
производной $(\partial^2 V/\partial p^2)_s$ \footnote{Неравенства
(\ref{eq:87.1}-\ref{eq:87.4}) былн получены для ударных волн произвольной
интенсивности в политропном газе \emph{Жуге (Е. Jouguet, 1904) и Цемпленом (G,
Zemplen, 1905)}. Излагаемое ниже доказательство для произвольной среды дано
\emph{Л. Д. Ландау (1944).}}.
Величина $j^2$ определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки ударной
адиабаты $1$ в произвольную точку $2$ ($-j^2$ есть тангенс угла наклона этой
хорды к оси $V$). Покажем, прежде всего, что направление изменения этой
величины при перемещении точки $2$ вдоль адиабаты однозначно связано с
направлением изменения энтропии $s_2$ при том же перемещении.
Продифференцируем соотношения \ref{eq:85.5} и \ref{eq:85.8} по величинам,
относящимся к газу 2 при заданном состоянии газа 1. Это значит, что
дифференцируются $p_2, V_2, w_2$ и $j$ при заданных значениях $p_2, V_2, w_2$. Из
\ref{eq:85.5} получаем:
\begin{equation}
\label{eq:87.5}
dp_2 + j^2 dV_2 = (V_1 - V_2) d(j^2),
\end{equation}
а из \ref{eq:85.8}:
\[
dw_2 + j^2 V_2 dV_2 = \frac{1}{2}(V_1^2 - V_2^2) d(j^2)
\]
или, раскрыв дифференциал $dw_2$:
\[
T_2 ds_2 + V_2 (dP-2 + j^2 dV_2) = \frac{1}{2}(V^2_1 - V^2_2) d(j^2).
\]
Подставив сюда $dp_2 + j^2 dV_2$ из \ref{eq:87.5}, получим соотношение
\begin{equation}
\label{eq:87.6}
T_2 ds_2 = \frac{1}{2} (V_1 - V_2)^2 d(j^2).
\end{equation}
Отсюда видно, что
\begin{equation}
\label{eq:87.7}
d(j^2)/ds_2 > 0,
\end{equation}
т. е. $j^2$ и $s_2$ меняются в одинаковом направлении.
Дальнейшие рассуждения имеют своей следующей целью показать, что на ударной
адиабате не может быть точек, в которых бы она касалась проведенной из точки 1
прямой (как это имело бы место в точке $O$ на рис. 56.)
В такой точке угол наклона хорды (проведенной из точки 1) имеет минимум, а $j^2$ —
соответственно максимум, и потому
\[
d(j^2)/dp_2 = 0.
\]
Из соотношения \ref{eq:87.6} видно, что в таком случае будет и
\[
ds_2/dp_2 = 0.
\]
Далее, вычислим производную $d(j^2)/dp_2$ в произвольной точке ударной
адиабаты. Подставив в соотношение \ref{eq:87.5} дифференциал $dV_2$ в виде
\[
dV_2 = \ddp{V_2}{p_2}{s_2}dp_2 + \ddp{V_2}{s_2}{p_2}ds_2,
\]
взяв для $ds_2$ выражение \ref{eq:87.6} и разделив все равенство на $dp_2$, получим
\begin{equation}
\label{eq:87.8}
\frac{d(j^2)}{p_2} = \frac{1 + j^2 \ddp{V_2}{p_2}{s_2}}{(V_1 - V_2) \left\lbrack 1 - \frac{j^2(V_1-V_2)}{2T_2} \ddp{V_2}{s_2}{p_2} \right\rbrack}.
\end{equation}
Отсюда видно, что обращение этой производной в нуль влечет за собой также и
равенство
\[
1 + j^2 \ddp{V_2}{p_2}{s_2} = 1 - \frac{v^2_2}{c^2_2} = 0,
\]
т. е. $v_2 = c_2$. Обратно, из равенства $v_2 = c_2$ следует, что производная
$d(j^2)/dp_2$; последняя могла бы не обратиться в нуль, лишь если бы вместе с
числителем в \ref{eq:87.8} обратился бы в нуль также и знаменатель; но
выражения в числителе и знаменателе представляют собой две различные функции
точки 2 на ударной адиабате, их одновременное обращение в нуль могло бы
произойти лишь чисто случайно и потому невероятно \footnote{Подчеркнем, во
избежание недоразумений, что сама производная $d(j^2)/dp_2$ не является еще
одной независимой функцией точки 2; выражение \ref{eq:87.8} есть ее
определение.}.
Таким образом, все три равенства
\begin{equation}
\label{eq:87.9}
\frac{d(j^2)}{dp_2} = 0, \quad \frac{s_2}{p_2} = 0, \quad v_2 = c_2
\end{equation}
являются следствиями друг друга и имели бы место одновременно в точке $O$ на
кривой рис. 56 (имея в виду последнее из этих равенств, будем условно называть
такую точку \emph{звуковой}). Наконец, для производной от $(v_2/c_2)^2$ в этой
точке имеем
\[
\frac{d}{dp_2}\left( \frac{v^2_2}{c^2_2} \right) =
- \frac{d}{dp_2} \left\lbrack j^2 \ddp{V_2}{p_2}{s_2} \right\rbrack =
- j^2 \ddp{^2 V_2}{p^2_2}{s_2} .
\]
Ввиду предполагаемой везде положительности производной $(\partial^2 V/\partial
p^2)_s$ имеем, следовательно, в звуковой точке:
\begin{equation}
\label{eq:87.10}
\frac{d}{dp_2} \frac{v_2}{c_2} < 0.
\end{equation}
Теперь уже легко доказать невозможность существования звуковой точки на ударной
адиабате. В точках, лежащих вблизи начальной точки 1 над ней, имеем $v_2 < c_2$
(см. конец предыдущего параграфа). Поэтому равенство $v_2 = c_2$ может быть
достигнуто лишь при увеличении $v_2 / c_2$; другими словами, в звуковой точке
должно было бы быть $d(v_2/c_2)/dp_2 > 0$, между тем как согласно
\ref{eq:87.10} мы имеем как раз обратное неравенство. Аналогичным образом можно
убедиться в невозможности обращения $v_2/c_2$ в единицу и на нижней части
ударной адиабаты, под точкой 1.
Имея в виду доказанную таким образом невозможность существования звуковых
точек, можно заключить непосредственно из графика ударной адиабаты, что угол
наклона хорды 12 уменьшается при передвижении точки 2 вверх по кривой, a $j^2$
соответственно монотонно возрастает; ввиду неравенства \ref{eq:87.7} отсюда
следует, что монотонно возрастает и энтропия $s_2$. Таким образом, при
соблюдении необходимого условия $s_2>s_1$ будет и $p_2>p_1$.
Легко, далее, убедиться в том, что на верхней части ударной адиабаты
справедливы также и неравенства $v_2 < c_2, v_1>c_1$. Первое следует прямо из
того, что оно справедливо вблизи точки 1, а сделаться равным единице отношение
$v_2/c_2$ нигде не может. Второе следует из того, что ввиду невозможности
такого перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда из точки 1 в
находящуюся над ней точку 2 расположена более круто, чем касательная к ударной
адиабате в точке 1.
Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполняются условие $s_2>s_1$
и все три неравенства (\ref{eq:87.1}—\ref{eq:87.2}). Наоборот, на нижней части
адиабаты все эти условия не выполняются. Следовательно, все эти условия
оказываются эквивалентными друг другу и выполнение одного из них автоматически
влечет за собой также и выполнение всех остальных.
Напомним лишний раз, что в изложенных рассуждениях все время предполагалось
выполненным условие положительности производной $(\partial^2 V/\partial
p^2)_s$. Если эта производная могла бы менять знак, то из необходимого
термодинамического неравенства $s_2>s_1$ уже нельзя было бы сделать никаких
универсальных заключений о неравенствах для остальных величин.