-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.14.tex
264 lines (239 loc) · 15.9 KB
/
LL_6_01.14.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
\section{Волны во вращающейся жидкости}
\label{sec:p14}
Другой своеобразный тип внутренних волн может распространяться в равномерно
вращающейся как целое несжимаемой жидкости. Их происхождение связано с
возникающими при вращении кориолисовыми силами.
Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней. Как
известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть
введены дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому,
надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую
сторону уравнения Эйлера. Центробежная сила может быть представлена в виде
градиента $\nabla\lbrack\bm{\Omega}\vect{r}\rbrack^2/2$, где $\bm\Omega$—
вектор угловой скорости вращения жидкости. Этот член можно объединить с силой
$-\nabla p/\rho$, введя эффективное давление
\begin{equation}
\label{eq:14.1}
P = p - \frac{\rho}{2}\left\lbrack \bm\Omega\vect r \right\rbrack^2.
\end{equation}
Кориолисова же сила равна $2\left\lbrack \vv\bm\Omega \right\rbrack$, она
появляется лишь при движении жидкости относительно вращающейся системы координат
($\vv$ — скорость в этой системе). Перенеся этот член в левую сторону уравнения
Эйлера, напишем его в виде
\begin{equation}
\label{eq:14.2}
\pd{\vv}{t} + \vnv + 2\left\lbrack\bm\Omega\vv\right\rbrack =
- \frac1{\rho}\nabla P.
\end{equation}
Уравнение же непрерывности сохраняет свой прежний вид, сводясь для несжимаемой
жидкости к равенству $\Div\vv = 0$.
Снова будем считать амплитуду волны малой и пренебрежем квадратичным по скорости
членом в уравнении (\ref{eq:14.2}), которое примет вид
\begin{equation}
\label{eq:14.3}
\pd{\vv}{t}+ 2\left\lbrack \bm\Omega\vv \right\rbrack =
- \frac1{\rho}\nabla p',
\end{equation}
где $p'$ — переменная часть давления в волне, а $\rho = \const$. Сразу же
исключим давление, применив к обеим сторонам уравнения (\ref{eq:14.3}) операцию $\rot$.
Правая сторона уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом
несжимаемости жидкости:
\[
\rot \left\lbrack \bm\Omega\vv \right\rbrack =
\bm\Omega\Div\vv - (\bm\Omega\nabla)\vv =
- (\bm\Omega\nabla)\vv
\]
Выбрав направление $\bm\Omega$ в качестве оси $z$, запишем получающееся
уравнение в виде
\begin{equation}
\label{eq:14.4}
\pdt\rot\vv = 2\Omega \pd{\vv}{z}.
\end{equation}
Ищем решение в виде плоской волны
\begin{equation}
\label{eq:14.5}
\vv = \vect A e^{i(\vect{kr} - \omega t)},
\end{equation}
удовлетворяющей (в силу уравнения $\Div\vv = 0$) условию поперечности
\begin{equation}
\label{eq:14.6}
\vect{kA} = 0.
\end{equation}
Подстановка (\ref{eq:14.5}) в уравнение (\ref{eq:14.4}) дает
\begin{equation}
\label{eq:14.7}
\omega \left\lbrack \vect{kv} \right\rbrack =
2i\Omega k_z \vv.
\end{equation}
Закон дисперсии волн получается исключением $\vv$ из этого векторного равенства.
Умножив его с обеих сторон векторно на $k$, переписываем его в виде
\[
- \omega k^2\vv = 2i\Omega k_z \left\lbrack \vect{kv} \right\rbrack
\]
и, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зависимость $\omega$ от
$\vect k$:
\begin{equation}
\label{eq:14.8}
\omega = 2\Omega \frac{k_z}{k} = 2\Omega\cos\theta,
\end{equation}
где $\theta$ — угол между $\vect k$ и $\bm\Omega$.
С учетом (\ref{eq:14.4}) равенство (\ref{eq:14.7}) принимает вид
\[
\left\lbrack \vect{n\nu} \right\rbrack = i\vv,
\]
где $\vect n = \vect{k}/k$. Если представить комплексную амплитуду волны как
$\vect A = \vect a + i \vect b$ с вещественными векторами $\vect a$ и $\vect b$,
то отсюда следует, что $\left\lbrack \vect{nb} \right\rbrack = \vect a$, —
векторы $\vect a$ и $\vect b$ (оба лежащие в плоскости, перпендикулярной вектору
$\vect k$) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине. Выбрав их
направления в качестве осей $x$ и $y$ и отделив в (\ref{eq:14.5}) вещественную и мнимую
части, найдем, что
\[
v_x = a\cos(\omega t - \vect{kr}),\;
v_y = - a\sin(\omega t - \vect{kr}).
\]
Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каждой точке пространства
вектор $\vv$ вращается со временем, оставаясь постоянным по величине\footnote{Напомним,
что речь идет по отношению к вращающейся системе координат! По отношению к неподвижной
системе на это движение налагается еще и вращение всей жидкости как целого.}.
Скорость распространения волны:
\begin{equation}
\label{eq:14.9}
\vect U = \pd{\omega}{k} = \frac{2\Omega}{k}\lbrace \nu - \vect{n(n\nu)} \rbrace,
\end{equation}
где $\nu$ — единичный вектор в направлении $\bm\Omega$; как и в гравитационных
внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна волновому вектору. Ее абсолютная
величина и проекция на направление $\bm\Omega$:
\[
U = \frac{2\Omega}{k}\sin\theta,\;
\vect U \nu = \frac{2\Omega}{k}\sin^2\theta = U\sin\theta.
\]
Рассмотренные волны называют \textit{инерционными}. Поскольку кориолисовы силы
не совершают работы над движущейся жидкостью, заключенная в этих волнах энергия
— целиком кинетическая.
Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться
вдоль оси-вращения жидкости — см. задачу.
В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во
вращающейся жидкости, а не к распространению волн в ней.
Пусть $l$ — характерный параметр длины такого движения, а $u$ — характерная
скорость. По порядку величины член $\vnv$ в уравнении (\ref{eq:14.2}) равен $u^2/l$, а
член $2 \left\lbrack \bm\Omega\vv \right\rbrack \sim \Omega u$. Если
$u/l\Omega \ll 1$, то первым можно пренебречь по сравнению со вторым и тогда
уравнение стационарного движения сводится к
\begin{equation}
\label{eq:14.10}
2 \left\lbrack \bm\Omega\vv \right\rbrack = - \frac1{\rho}\nabla P
\end{equation}
или
\[
2\Omega v_y = \frac1{\rho}\pd{P}{x},\;
2\Omega v_x = \frac1{\rho}\pd{P}{y},\;
\pd{P}{z} = 0,
\]
где $x,y$ — декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Отсюда видно, что $P$, а потому и $v_x, v_y$, не зависят от продольной
координаты $z$. Далее, исключив $P$ из двух первых уравнений, получим
\[
\pd{v_x}{x} + \pd{v_y}{y} = 0,
\]
после чего из уравнения непрерывности $\Div\vv$ следует, что $\partial
v_z/\partial z = 0$. Таким образом, стационарное движение (относительно
вращающейся системы координат) в быстро вращающейся жидкости представляет собой
наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости и
осевого движения, не зависящего от координаты $z$ (\textit{J. Proudman}, 1916).
\subsection*{Задачи}
\paragraph*{1}
Определить движение в осесимметричной волне, распространяющейся вдоль оси
вращающейся как целое несжимаемой жидкости (\textit{W. Thomson}, 1880).
\texttt{Решение.} Введем цилиндрические координаты $r,\varphi,z$ с осью $z$
вдоль вектора $\Omega$. В осесимметричной волне все величины не зависят от
угловой переменной $\varphi$. Зависимость же от времени и координаты $z$ дается
множителем вида $\exp{\lbrace i(kz - \omega t)\rbrace}$. Раскрыв уравнение
(\ref{eq:14.3}) в компонентах, получим
\begin{eqnarray}
\label{eq:14.T1.1}
-i\omega v_r - 2\Omega v_{\varphi} = - \frac1{\rho}\pd{p'}{r},\\
\label{eq:14.T1.2}
-i\omega v_{\varphi} + 2\Omega v_r = 0, \; -i\omega v_z = - \frac{ik}{\rho}p'.
\end{eqnarray}
Сюда надо присоединить уравнение непрерывности
\begin{equation}
\label{eq:14.T1.3}
\frac1{r}\frac{\partial}{\partial r}(r v_r) + ikv_z = 0.
\end{equation}
Выразив $\varphi$ и $p'$ через $v_r$ из (\ref{eq:14.T1.2}) и (\ref{eq:14.T1.3}) и подставив в (\ref{eq:14.T1.1}), получим
уравнение
\begin{equation}
\label{eq:14.T1.4}
\frac{d^2F}{dr^2} + \frac1{r}\D{F}{r} +
\left\lbrack \frac{4\Omega^2k^2}{\omega^2} - k^2 - \frac1{r^2} \right\rbrack F = 0
\end{equation}
для функции $F(r)$, определяющей радиальную зависимость скорости $v_r$:
\[
v_r = F(r)e^{i(\omega t - kz)}.
\]
Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при $r = 0$, есть
\begin{equation}
\label{eq:14.T1.5}
F = \const\cdot J_1 \left( kr\sqrt{\frac{4\Omega^2}{\omega^2}-1} \right),
\end{equation}
где $J_1$ — функция Бесселя порядка 1.
Вся картина движения в волне распадается на области, ограниченные коаксиальными
цилиндрическими поверхностями с радиусами $r_n$, определяемыми равенствами
\[
kr_n\sqrt{\frac{4\Omega^2}{\omega^2}-1} = x_n,
\]
где $x_1,x_2,\dots$ — последовательные нули функции $J_1(x)$. На этих
поверхностях $v_r= 0$; другими словами, жидкость никогда не пересекает их.
Отметим, что для рассматриваемых волн в неограничениой жидкости частота $\omega$
не зависит от $k$. Возможные значения частоты ограничены, однако, условием
$\omega < 2\Omega$; в противном случае уравнение (\ref{eq:14.T1.4}) не имеет решения,
удовлетворяющего необходимым условиям конечности.
Если же вращающаяся жидкость ограничена цилиндрической стенкой (радиуса $R$), то
должно быть учтено условие $v_r = 0$ на стенке. Отсюда возникает соотношение
\[
ka\sqrt{\frac{4\Omega^2}{\omega^2}-1} = x_n,
\]
устанавливающее связь между $\omega$ и $k$ для волны с заданным значением $n$
(т.е. числом коаксиальных областей в ней).
\paragraph*{2}
2. Получить уравнение, описывающее произвольное малое возмущение давления во
вращающейся жидкости.
\texttt{Решение.} Уравнение (\ref{eq:14.3}), расписанное в компонентах, дает
\begin{eqnarray}
\label{eq:14.T2.1}
\pd{v_x}{t} - 2\Omega v_y = - \frac1{\rho} \pd{p'}{x}, \nonumber \\
\pd{v_y}{t} + 2\Omega v_x = - \frac1{\rho} \pd{p'}{x}, \\
\pd{v_z}{t} = - \frac1{\rho} \pd{p'}{z}. \nonumber
\end{eqnarray}
Продифференцировав эти три уравнения соответственно по $x,y,z$ и сложив их с
учетом уравнения $\Div\vv = 0$, получим:
\[
\frac1{\rho}\nabla p' = 2\Omega \left( \pd{v_y}{x} - \pd{v_x}{y} \right).
\]
Дифференцирование этого уравнения по $t$, снова с учетом уравнений (\ref{eq:14.T2.1}), дает
\[
\frac1{\rho}\pdt \nabla p' = 4 \Omega^2 \pd{v_z}{z},
\]
а еще одно дифференцирование по $t$ приводит к окончательному уравнению
\begin{equation}
\label{eq:14.T2.2}
\frac{\partial^2}{\partial t^2} \nabla p'
+ 4 \Omega^2 \frac{\partial^2 p'}{\partial z^2} = 0
\end{equation}
Для периодических возмущений с частотой $\omega$ это уравнение сводится к
\begin{equation}
\label{eq:14.T2.3}
\frac{\partial^2p'}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2p'}{\partial y^2} +
\left( 1-\frac{4 \Omega^2}{\omega^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial z^2} \right)
\end{equation}
Для волн вида (\ref{eq:14.5}) отсюда получается, разумеется, уже известное дисперсионное
соотношение (\ref{eq:14.8}); при этом $\omega < 2 \Omega$ и коэффициент при $\partial
^2p'/\partial z^2$ в уравнении (\ref{eq:14.T2.3}) отрицателей. Возмущения из точечного
источника распространяются вдоль образующих конуса с осью вдоль $\Omega$ и углом
раствора $2\theta$, где $\sin\theta = \omega/2 \Omega$.
При $\omega > 2 \Omega$ коэффициент при $\partial ^2p'/\partial z^2$ в уравнении
(\ref{eq:14.T2.3}) положителен, и путем очевидного изменения масштаба вдоль оси $z$ оно
приводится к уравнению Лапласа. Влияние точечного источника возмущений
простирается в этом случае по всему объему жидкости, причем убывает прн удалении
от источника по степенному закону.