-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.12.tex
446 lines (406 loc) · 26 KB
/
LL_6_01.12.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
\section{Гравитационные волны}
\label{sec:12}
Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести, -
плоская. Если под влиянием какого-либо внешнего воздействия поверхность жидкости
в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости
возникает движение. Это движение будет распространяться вдоль всей поверхности
жидкости в виде волн, называемых \textit{гравитационными}, поскольку они
обусловливаются действием поля тяжести. Гравитационные волны происходят в
основном на поверхности жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем
глубже эти слои расположены.
Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость
движущихся частиц жидкости настолько мала, что в уравнении Эйлера можно
пренебречь членом $\vnv$ по сравнению с $\partial \vv/\partial t$. Легко
выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени
порядка периода $\tau$ колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти
частицы проходят расстояние порядка амплитуды $a$ волны. Поэтому скорость их
движения — порядка $v \sim a/\tau$. Скорость $v$ заметно меняется на протяжении
интервалов времени порядка $\tau$ и на протяжении расстояний порядка $\lambda$
вдоль направления распространения волны ($\lambda$ - длина волны). Поэтому
производная от скорости по времени — порядка $v/\tau$, а по координатам —
порядка $v/\lambda$. Таким образом, условие $\vnv \ll \partial \vv/\partial t$
эквивалентно требованию
\[
\frac1{\lambda} \left( \frac{a}{\tau} \right)^2 \ll \frac{a}{\tau}\frac1{\tau},
\]
или
\begin{equation}
\label{eq:12.1}
a \ll \lambda,
\end{equation}
т. е. амплитуда колебаний в волне должна быть мала по сравнению с длиной волны.
В \S9 мы видели, что если в уравнении движения можно пренебречь членом $\vnv$,
то движение жидкости потенциально. Предполагая жидкость несжимаемой, мы можем
воспользоваться поэтому уравнениями (\ref{eq:10.6}) и (\ref{eq:10.7}). В уравнении (\ref{eq:10.7}) мы можем
теперь пренебречь членом $\vnv$, содержащим квадрат скорости; положив $f(t) = 0$
и введя в поле тяжести член $pgz$, получим:
\begin{equation}
\label{eq:12.2}
p = - \rho gz - \rho \pd{\varphi}{t}.
\end{equation}
Ось z выбираем, как обычно, вертикально вверх, а в качестве плоскости $x,y$
выбираем равновесную плоскую поверхность жидкости.
Будем обозначать $z$-координату точек поверхности жидкости посредством
$\zeta$;$\zeta$ является функцией координат $x,y$ и времени $t$. В равновесии
$\zeta=0$, так что $\zeta$ есть вертикальное смещение жидкой поверхности при ее
колебаниях. Пусть на поверхность жидкости действует постоянное давление $p_0$.
Тогда имеем на поверхности согласно (12,2)
\[
p_0 = - \rho g \zeta - \rho \pd{\varphi}{t}.
\]
Постоянную $p_0$ можно устранить переопределением потенциала $\varphi$
(прибавлением к нему независящей от координат величины $p_0t/\rho$). Тогда
условие на поверхности жидкости примет вид
\begin{equation}
\label{eq:12.3}
g \zeta + \left.\pd{\varphi}{t}\right\vert_{z=\zeta} = 0.
\end{equation}
Малость амплитуды колебаний в волне означает, что смещение $\zeta$ мало. Поэтому
можно считать, в том же приближении, что вертикальная компонента скорости
движения точек поверхности совпадает с производной по времени от смещения
$\zeta$: $v_z=\partial$. Но $v_z=\partial\varphi/\partial z$, так что имеем:
\[
\left.\pd{\varphi}{t}\right\vert_{z=\zeta} = \pd{\zeta}{t} = - \frac1{g}
\left.\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}\right\vert_{z=\zeta}.
\]
В силу малости колебаний можно в этом условии взять значения производных при
$z=0$ вместо $z=\zeta$. Таким образом, получаем окончательно следующую систему
уравнений, определяющих движение в гравитационной волне:
\begin{eqnarray}
\label{eq:12.4}
\nabla\varphi = 0, \\
\label{eq:12.5}
\left( \pd{\varphi}{t} +
\frac1{g} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} \right)_{z=0} = 0.
\end{eqnarray}
Будем рассматривать волны на поверхности жидкости, считая эту поверхность,
неограниченной. Будем также считать, что длина волны мала по сравнению с
глубиной жидкости; тогда можно рассматривать жидкость как бесконечно глубокую.
Поэтому мы не пишем граничных условий на боковых границах и на дне жидкости.
Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся вдоль оси $x$ и однородную
вдоль оси $y$ в такой волне все величины не зависят от координаты $y$. Будем
искать решение, являющееся простой периодической функцией времени и координаты
$x$:
\[
\varphi = \cos (kx - \omega t)f(z),
\]
где ($\omega$ - циклическая частота (мы будем говорить о ней просто как о
частоте), $k$ - волновой вектор волны, $\lambda = 2\pi/k$ - длина волны.
Подставив это выражение в уравнение $\nabla\varphi = 0$, получим для функции
$f(z)$ уравнение
\[
\frac{d^2f}{dz^2} - k^2f = 0.
\]
Его решение, затухающее в глубь жидкости (т.е. при $z \to - \infty$):
\begin{equation}
\label{eq:12.6}
\varphi = Ae^{kz}\cos (kx - \omega t).
\end{equation}
Мы должны еще удовлетворить граничному условию (\ref{eq:12.5}). Подставив в него (\ref{eq:12.5}),
найдем связь между частотой и волновым вектором (или, как говорят,\textit{закон
дисперсии волн}):
\begin{equation}
\label{eq:12.7}
\omega^2 = kg.
\end{equation}
Распределение скоростей в жидкости получается дифференцированием потенциала по
координатам:
\begin{equation}
\label{eq:12.8}
\begin{array}{l}
v_x = -Ake^{kz}\sin (kx - \omega t),\; \\
v_z = Ake^{kz}\cos (kx - \omega t).
\end{array}
\end{equation}
Мы видим, что скорость экспоненциально падает по направлению в глубь жидкости. В
каждой заданной точке пространства (т. е. при заданных $x,z$) вектор скорости
равномерно вращается в плоскости $x,z$, оставаясь постоянным по своей величине.
Определим еще траекторию частиц, жидкости в волне. Обозначим временно
посредством $x,z$ координаты движущейся частицы жидкости (а не координаты
неподвижной точки в пространстве), а посредством $x_0,z_0$ — значения $x,z$ для
равновесного положения частицы. Тогда $v_x = dx/dt,\; v_z = dz/dt$, а в правой
части (\ref{eq:12.8}) можно приближенно написать $x_0, z_0$ вместо $x,z$,
воспользовавшись малостью колебаний. Интегрирование по времени дает тогда:
\begin{equation}
\label{eq:12.9}
\begin{array}{l}
x - x_0 = - A \frac{k}{\omega}e^{kz_0} \cos (kx_0 - \omega t); \\
z - z_0 = - A \frac{k}{\omega}e^{kz_0} \sin (kx_0 - \omega t).
\end{array}
\end{equation}
Таким образом, частицы жидкости описывают окружности вокруг точек $x_0, z_0$ с
радиусом, экспоненциально убывающим по направлению в глубь жидкости.
Скорость $U$ распространения волны равна, как будет показано в \S67, $U =
\partial \omega/\partial k$. Подставив сюда $\omega = \sqrt{kg}$, находим, что
скорость распространения гравитационных волн на неограниченной поверхности
бесконечно глубокой жидкости равна
\begin{equation}
\label{eq:12.10}
U = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.
\end{equation}
Она растет при увеличении длины волны.
\subsection*{Длинные гравитационные волны}
Рассмотрев гравитационные волны, длина которых мала по сравнению с глубиной
жидкости, остановимся теперь на противоположном предельном случае волн, длина
которых велика по сравнению с глубиной жидкости. Такие волны называются
\textit{длинными}.
Рассмотрим сначала распространение длинных волн в канале. Длину канала
(направленную вдоль оси $x$) будем считать неограниченной Сечение канала может
иметь произвольную форму и может меняться вдоль его длины. Площадь поперечного
сечения жидкости в канале обозначим посредством $S = S(x,t)$. Глубина и ширина
канала предполагаются малыми по сравнению с длиной волны.
Мы будем рассматривать здесь продольные длинные волны, в которых жидкость
движется вдоль канала. В таких волнах компонента $v_x$ скорости вдоль длины
канала велика по сравнению с компонентами $v_y, v_z$.
Обозначив $v_x$, просто как $c$ и опуская малые члены, мы можем написать
$x$-компоненту уравнения Эйлера в виде
\[
\pd{v}{t} = - \frac1{\rho} \pd{p}{x},
\]
а $z$ - компоненту - в виде
\[
\frac1{\rho} \pd{p}{z} = -g
\]
(квадратичные по скорости члены опускаем, поскольку амплитуда волны по-прежнему
считается малой). Из второго уравнения имеем, замечая, что на свободной
поверхности ($z = \zeta$) должно быть $p = p_0$:
\[
p = p_0 + g\rho(\zeta - z).
\]
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
\begin{equation}
\label{eq:12.11}
\pd{v}{t} = - g \pd{\zeta}{x}.
\end{equation}
Второе уравнение для определения двух неизвестных $v$ и $\zeta$ можно вывести
методом, аналогичным выводу уравнения непрерывности. Это уравнение представляет
собой по существу уравнение непрерывности применительно к рассматриваемому
случаю. Рассмотрим объем жидкости, заключенный между двумя плоскостями
поперечного сечения канала, находящимися на расстоянии $dx$ друг от друга. За
единицу времени через одну плоскость войдет объем жидкости, равный $(Sv)_x$, а
через другую плоскость выйдет объем $(Sv)_{x+dx}$. Поэтому объем жидкости между
обеими плоскостями изменится на
\[
(Sv)_{x+dx} - (Sv)_x = \pd{(Sv)}{x}dx.
\]
Но в силу несжимаемости жидкости это изменение может произойти только за счет
изменения ее уровня. Изменение объема жидкости между рассматриваемыми
плоскостями в единицу времени равно
\[
\pd{S}{t}dx.
\]
Следовательно, можно написать:
\[
\pd{S}{t}dx = - \pd{(Sv)}{x}dx,
\]
или
\begin{equation}
\label{eq:12.12}
\pd{S}{t}+ \pd{(Sv)}{x} = 0,
\end{equation}
Это и есть искомое уравнение непрерывности.
Пусть $S_0$ есть площадь поперечного сечения жидкости в канале при равновесии.
Тогда $S = S_0 + S'$, где $S'$ — изменение этой площади благодаря наличию волны.
Поскольку изменение уровня жидкости в волне мало, то $S'$ можно написать в виде
$b\zeta$ где $b$ — ширина сечения канала у самой поверхности жидкости в нем.
Уравнение (\ref{eq:12.12}) приобретает тогда вид
\begin{equation}
\label{eq:12.13}
b \pd{\zeta}{t} + \pd{(S_0v)}{x} = 0.
\end{equation}
Дифференцируя (\ref{eq:12.13}) по $t$ и подставляя $\pd{v}{t}$ из (\ref{eq:12.11}), получим:
\begin{equation}
\label{eq:12.14}
\frac{\partial^2\zeta}{\partial t} - \frac{g}{b} \frac{\partial}{\partial x}
\left( S_0 \pd{\zeta}{x} \right) = 0.
\end{equation}
Если сечение канала одинаково вдоль всей его длины, то $S_0 = \const$ и
\begin{equation}
\label{eq:12.15}
\frac{\partial^2\zeta}{\partial t} - \frac{gS_0}{b} \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} = 0.
\end{equation}
Уравнение такого вида называется \textit{волновым}; как будет показано в \S64,
оно соответствует распространению волн с не зависящей от частоты скоростью $U$,
равной квадратному корню из коэффициента при $\partial^2\zeta/\partial x^2$.
Таким образом, скорость распространения длинных гравитационных волн в каналах
равна
\begin{equation}
\label{eq:12.16}
U=\sqrt{\frac{gS_0}{b}}.
\end{equation}
Аналогичным образом можно рассмотреть длинные волны в обширном бассейне, который
мы будем считать неограниченным в двух измерениях (вдоль плоскости $x,y$).
Глубину жидкости в бассейне обозначим посредством $h$. Из трех компонент
скорости малой является теперь компонента $v_z$. Уравнения Эйлера приобретают
вид, аналогичный (\ref{eq:12.11}):
\begin{equation}
\label{eq:12.17}
\pd{v_x}{t}+g \pd{\zeta}{x} = 0; \\
\pd{v_y}{t}+g \pd{\zeta}{y} = 0.
\end{equation}
Уравнение непрерывности выводится аналогично (12,12) и имеет вид
\[
\pd{h}{t} + \pd{(hv_x)}{x} + \pd{hv_y}{y} = 0.
\]
Глубину $h$ пишем в виде $h = h_0 + \zeta$, где $h_0$ - равновесная глубина. Тогда
\begin{equation}
\label{eq:12.18}
\pd{\zeta}{t} + \pd{(h_0v_x)}{x} + \pd{h_0v_y}{y} = 0.
\end{equation}
Предположим, что бассейн имеет плоское горизонтальное дно ($h_0 = \const$).
Дифференцируя (\ref{eq:12.18}) по $t$ и подставляя (\ref{eq:12.17}), лолучим:
\begin{equation}
\label{eq:12.19}
\pd{^2\zeta}{t^2} - gh_0 \left( \pd{^2\zeta}{x^2} + \pd{^2\zeta}{y^2} \right) = 0.
\end{equation}
Это — опять уравнение типа волнового (двухмерного) уравнения; оно соответствует
волнам со скоростью распространения, равной
\begin{equation}
\label{eq:12.20}
U = \sqrt{gh_0}.
\end{equation}
\subsection*{Задачи}
\paragraph*{1}
Определить скорость распространения гравитационных волн на неограниченной
поверхиости жидкости, глубина которой равна $h$.
\texttt{Решение.}
На дне жидкости нормальная составляющая скорости должна быть равна нулю, т. е.
\[
v_z = \pd{\varphi}{z} = 0, \text{ при } z = -h.
\]
Из этого условия определяется отношение между постоянными $A$ и $B$ в общем решении
\[
\varphi = \cos (kx - \omega t) \lbrace Ae^{kz} + Be^{-kz} \rbrace.
\]
В результате находим:
\[
\varphi = A\cos (kz - \omega t) \cosh k(z+h).
\]
Из предельного условия (\ref{eq:12.5}) находим соотношение между $k$ и $\omega$ в виде
\[
\omega^2 = gk \tanh kh.
\]
Скорость распространения волны
\[
U = \frac{\sqrt g}{2\sqrt{k\tanh kh}} \left\lbrace \tanh kh + \frac{kh}{\cosh^2 kh} \right\rbrace .
\]
При $kh \gg 1$ получается результат (\ref{eq:12.10}), а при $kh \ll 1$ - результат (\ref{eq:12.20}).
\paragraph*{2} Определить связь между частотой и длиной волны для гравитационных
волн на поверхности раздела двух жидкостей, причем верхняя жидкость ограничена
сверху, а нижняя — снизу горизонтальными неподвижными плоскостями. Плотность н
глубина слоя нижней жидкости $\rho$ и $h$, а верхней $\rho'$ и $h'$ (причем
$\rho > \rho'$).
\textit{Решение.} Плоскость $x,y$ выбираем по плоскости раздела обеих жидкостей
в равновесии. Ищем решение в обеих жидкостях соответственно в виде
\begin{equation}
\label{eq:12t2.1}
\begin{array}{l}
\varphi = A\cosh k(z+h ) \cos(kx - \omega t),\\
\varphi' = B\cosh k(z-h') \cos(kx - \omega t)
\end{array}
\end{equation}
(так, чтобы удовлетворялись условия на верхней и нижней границах, — см. решение
задачи 1). На поверхности раздела давление должно быть непрерывным; согласно
(\ref{eq:12.2}) это приводит к условию
\[
\rho g \zeta + \rho \frac{\varphi}{t} = \rho' g\zeta + \rho'\pd{\varphi'}{t}
\]
(при $z = 0$) или
\begin{equation}
\label{eq:12t2.2}
\zeta = \frac1{g(\rho - \rho')}\left( \rho'\pd{\varphi'}{t} - \rho\pd{\varphi}{t} \right) .
\end{equation}
Кроме того, скорости $v_z$ обеих жидкостей на поверхности раздела должны быть
одинаковыми. Это приводит к условию (при $z = 0$)
\begin{equation}
\label{eq:12t2.3}
\pd{\varphi}{z} = \pd{\varphi'}{z}.
\end{equation}
Далее, $v_z = \partial \varphi/\partial z = \partial \zeta/\partial t$ и,
подставляя сюда (\ref{eq:12t2.2}), получаем:
\begin{equation}
\label{eq:12t2.4}
g(\rho - \rho')\pd{\varphi}{z} = \rho' \pd{^2\varphi'}{t^2} - \rho\pd{^2\varphi}{t^2}.
\end{equation}
Подставляя (\ref{eq:12t2.1}) в (\ref{eq:12t2.3}) и (\ref{eq:12t2.4}), получим два однородных линейных уравнения для $A$ и
$B$, из условия совместности которых найдем:
\[
\omega^2 = \frac{kg(\rho - \rho')}{\rho \tanh kh + \rho' \tanh kh'}.
\]
При $kh \gg 1$, $kh' \gg 1$ (обе жидкости очень глубоки):
\[
\omega^2 = kg \frac{\rho - \rho'}{\rho + \rho'},
\]
а при $kh \ll 1$, $kh' \ll 1$; 1 (длинные волны):
\[
\omega^2 = k^2 \frac{g(\rho - \rho')hh'}{\rho h' + \rho' h}
\]
Наконец, если $kh \geq 1$, $kh' \ll 1$:
\[
\omega^2 = k^2 gh'\frac{\rho - \rho'}{\rho}
\]
\paragraph*{3} Определить связь между частотой и длиной волны для гравитационных
волн, распространяющихся одновременно по поверхности раздела и верхней
поверхности двух слоев жидкости, из которых нижняя (плотность $\rho$) бесконечно
глубока, а верхняя (плотность $\rho'$) имеет толщину $h'$ и свободную верхнюю
поверхность.
\textit{Решение.}
Выбираем плоскость $x,y$ в плоскости раздела обеих жидкостей в равновесии. В
нижней и верхней жидкостях ищем решение соответственно в виде
\begin{equation}
\label{eq:12t3.1}
\varphi = A e^{kz} \cos (kz - \omega t); \;
\varphi' = \lbrack B e^{-kz} + C e^{kz} \cos (kz - \omega t)
\end{equation}
На поверхности раздела обеих жидкостей (т. е. при $z = 0$) имеют место условия
(см. задачу 2):
\begin{equation}
\label{eq:12t3.2}
\pd{\varphi}{z} = \pd{\varphi'}{z};\;
g(\rho - \rho') \pd{\varphi}{z} = \rho'\pd{^2\varphi'}{t^2} - \rho\pd{^2\varphi}{t^2},
\end{equation}
а на верхней свободной границе (т.е. при $z = h'$):
\begin{equation}
\label{eq:12t3.3}
\pd{\varphi'}{z} + \frac1{g}\pd{^2\varphi'}{t^2} = 0.
\end{equation}
Первое из уравнений (\ref{eq:12t3.2}) при подстановке (\ref{eq:12t3.1}) дает $A = C - B$, а два остальных
условия дают два уравнения для $B$ и $C$, из условия совместности которых
получаем квадратное уравнение для $\omega^2$ с корнями:
\[
\omega^2 = kg \frac{(\rho - \rho')(1-e^{-2kh'})}{\rho + \rho' + (\rho - \rho')e^{-2kh'}},\; \omega^2 = kg.
\]
При $h' \to \infty$ эти корни соответствуют волнам, распространяющимся
независимо по поверхности раздела и по верхней поверхности жидкости.
\paragraph*{4} Определить собственные частоты колебаний (см. \S69) жидкости
глубины $h$ в прямоугольном бассейне ширины $a$ и длииы $b$.
\textit{Решение.} Оси $x$ и $y$ выбираем по двум боковым сторонам бассейна. Ищем
решение в виде стоячей волны:
\[
\varphi = \cos \omega t \cosh k(z+h) f(x,y).
\]
Для $f$ получаем уравнение
\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + k^2 f = 0,
\]
а условие на свободной поверхности приводят, как и в задаче 1, к соотношению
\[
\omega^2 = gk \tanh kh.
\]
Решение уравнения для $f$ берем в виде
\[
f = \cos px \cos qy, \; p^2 + q^2 = k^2.
\]
На боковых сторонах сосуда должны выполняться условия:
\begin{eqnarray}
v_x = \pd{\varphi}{x} = 0\;& x = 0,a; \nonumber \\
\pd{\varphi}{y} = 0\;& y = 0,b. \nonumber
\end{eqnarray}
Отсюда находим:
\[
p = \frac{m\pi}{a},\; q = \frac{n\pi}{b},
\]
где $m,n$ - целые числа. Поэтому возможные значения $k$ равны
\[
k^2 = \pi^2 \left( \frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2} \right).
\]