-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.11.tex
324 lines (302 loc) · 25.9 KB
/
LL_6_01.11.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
\section{Сила сопротивления при потенциальном обтекании}
\label{sec:p11}
Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой идеальной жидкостью
какого-либо твердого тела. Такая задача, конечно, полностью эквивалентна задаче
об определении течения жидкости при движении через нее того же тела. Для
получения второго случая из первого достаточно перейти к системе координат, в
которой жидкость на бесконечности покоится. Мы будем говорить ниже именно о
движении твердого тела через жидкость.
Определим характер распределения скоростей в жидкости на больших расстояниях от
движущегося тела. Потенциальное движение несжимаемой жидкости определяется
уравнением Лапласа $\nabla \varphi = 0$. Мы должны рассмотреть такие решения
этого уравнения, которые обращаются на бесконечности в нуль, поскольку жидкость
на бесконечности неподвижна. Выберем начало координат где-нибудь внутри
движущегося тела (эта система координат движется вместе с телом; мы, однако,
рассматриваем распределение скоростей в жидкости в некоторый заданный момент
времени). Как известно, уравнение Лапласа имеет решением $1/r$, где $r$ -
расстояние от начала координат. Решением являются также градиент $\nabla(1/r)$ и
следующие производные от $1/r$ по координатам. Все эти решения (и их линейные
комбинации) обращаются на бесконечности в нуль. Поэтому общий вид искомого
решения уравнения Лапласа на больших расстояниях от тела есть
\[
\varphi = - \frac{a}{r} + \vect A \nabla \frac1{r} + \dots ,
\]
где $a$, $\vect A$ не зависят от координат; опущенные члены содержат
производные высших порядков от $1/r$. Легко видеть, что постоянная $a$ должна
быть равной нулю. Действительно, потенциал $\varphi = -a/r$ дает скорость
\[
\vect v = - \nabla \frac{a}{r} = \frac{a \vect r}{r^3}.
\]
Вычислим соответствующий поток жидкости через какую-нибудь замкнутую
поверхность, скажем, сферу с радиусом $R$. На этой поверхности скорость
постоянна и равна $a/R^2$; поэтому полный поток жидкости через нее равен
$\rho(a/R^2)4\pi R^2 = 4\pi \rho a$. Между тем, поток несжимаемой жидкости
через всякую замкнутую поверхность должен, очевидно, обращаться в нуль. Поэтому
заключаем, что должно быть $a = 0$.
Таким образом, $\varphi$ содержит члены, начиная с членов порядка $1/r^2$.
Поскольку мы ищем скорость на больших расстояниях, то члены более высоких
порядков можно опустить, и мы получаем:
\begin{equation}
\label{eq:11.1}
\varphi = \vect A \nabla \frac1{r} = - \frac{\vect{An}}{r^2},
\end{equation}
а для скорости $\vect v = \grad \varphi$
\begin{equation}
\label{eq:11.2}
\vect v = (\vect A \nabla) \nabla \frac1{r} = \frac{3\vect{(An)n - A})}{r^3}
\end{equation}
($\vect n$ — единичный вектор в направлении $\vect r$). Мы видим, что на больших
расстояниях скорость падает, как $1/r^3$. Вектор $\vect A$ зависит от конкретной
формы и скорости движения тела и может быть определен только путем полного
решения уравнения $\nabla \varphi = 0$ на всех расстояниях, с учетом
соответствующих граничных условий на поверхности движущегося тела.
Входящий в (\ref{eq:11.2}) вектор $\vect A$ связан определенным образом с полным
импульсом и с полной энергией жидкости, обтекающей движущееся в ней тело. Полная
кинетическая энергия жидкости (внутренняя энергия несжимаемой жидкости
постоянна) есть
\[
E = \frac{\rho}{2}\int v^2\; dV,
\]
где интегрирование производится по всему пространству вне тела. Выделим из
пространства часть $V$, ограниченную сферой большого радиуса $R$, с центром в
начале координат и будем интегрировать сначала только по объему $V$, имея в виду
стремить затем $R$ к бесконечности. Имеем тождественно
\[
\int v^2\; dV = \int u^2\; dV + \int \vect{(v+u)(v-u)\;dV},
\]
где $\vect u$ - скорость тела. Поскольку $u$ есть не зависящая от координат
величина, то первый интеграл равен просто $u^2(V-V_0)$, где $V_0$ - объем тела.
Во втором же интеграле пишем сумму $\vect{v+u}$ в виде
$\nabla(\varphi+\vect{ur})$ и, воспользовавшись также тем, что $\Div \vv =0$ в
силу уравнения непрерывности, а $\Div \vect u \equiv 0$, имеем:
\[
\int v^2\; dV = u^2(V-V_0) + \int \Div \lbrace \vect{(\varphi + ur)(v-u)} \rbrace dV.
\]
Второй интеграл преобразуем в интеграл по поверхности $S$ сферы и поверхности $S_0$
тела:
\[
\int v^2\; dV = u^2(V-V_0) + \oint_{S+S_0} \vect{(\varphi+ur)(v-u)}\;\df .
\]
На поверхности тела нормальные компоненты $\vv$ и $\vect u$ равны друг другу в
силу граничных условий; поскольку вектор $\df$ направлен как раз по нормали к
поверхности, то ясно, что интеграл по $S_0$ тождественно обращается в нуль. На
удаленной же поверхности $S$ подставляем для $\varphi$ и $\vv$ выражения
(\ref{eq:11.1} - \ref{eq:11.2}) и опускаем члены, обращающиеся в нуль при переходе к пределу по $R \to
\infty$. Написав элемент поверхности сферы $S$ в виде $\df = \vect n R^2\; do$,
где $do$ — элемент телесного угла, получим:
\[
\int v^2\; dV = u^2 \left( \frac{4\pi}{3}R^3 - V_0 \right) +
\int \lbrace 3 \vect{(An)(un) - (un)^2}R^3 \rbrace\; do .
\]
Наконец, произведя интегрирование
\footnote{
Интегрирование по $do$ эквивалентно усреднению подинтегрального выражения по всем
направлениям вектора $\vect n$ и умножению затем на $4\pi$. Для усреднения выражений
типа $(\vect{An})(\vect{Bn}) \equiv A_i n_i B_k n_k$ ($\vect{A,B}$ - постоянные векторы),
пишем
\[
\overline{\vect{(An)(Bn)}} = A_i B_k \overline{n_i n_k} =
\frac1{3} \delta_{ik} A_i B_k = \frac1{3}\vect{AB}.
\]
}
и умножив на $\rho/2$, получаем окончательно
следующее выражение для полной энергии жидкости:
\begin{equation}
\label{eq:11.3}
E = \frac{\rho}{2}(4\pi \vect{Au} - V_0 u^2) .
\end{equation}
Как уже указывалось, точное вычисление вектора $\vect A$ требует полного решения
уравнения $\nabla \varphi = 0$ с учетом конкретных граничных условий на
поверхности тела. (Эбщий характер зависимости $\vect A$ от скорости $\vect u$
тела можно, однако, установить уже непосредственно из факта линейности уравнения
для $\varphi$ и линейности (как по $\varphi$, так и по $\vect u$) граничных
условий к этому уравнению. Из этой линейности следует, что $\vect A$ должно быть
линейной же функцией от компонент вектора $u$. Определяемая же формулой (\ref{eq:11.3})
энергия $E$ является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора
$\vect u$ и потому может быть представлена в виде
\begin{equation}
\label{eq:11.4}
E = \frac{m_{ik}u_i u_k}{2},
\end{equation}
где $m_{ik}$ - некоторый постоянный симметрический тензор, компоненты которого
могут быть вычислены с помощью компонент вектора $\vect A$; его называют
тензором \textit{присоединенных масс}.
Зная энергию $E$, можно получить выражение для полного импульса $\vect P$
жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые изменения $E$ и $\vect P$
связаны друг с другом соотношением $dE = \vect u\; d\vect P$
\footnote{
Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внешней силы $F$.
В результате импульс жидкости будет возрастать; пусть $d\vect{P}$ есть его приращение
в течение времени $dt$. Это приращение связано с силой посредством $d\vect{P} = \vect{F}dt$,
в умноженное на скорость $\vect u$ дает $\vect u d \vect P$, т.е. работу силы $\vect F$ на
пути $\vect u dt$, которая в свою очередь должна быть равна увеличению энергии $dE$ жидкости.
Следует заметить, что вычисление импульса непосредственно как интеграла $\int \rho \vect v dV$
по всему объему жидкости было бы невозможным. Дело в том, что этот интеграл (со скоростью $\vect v$, распределенной по (\ref{eq:11.2})) расходится в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит от способа взятия интеграла: производя
интегрирование по большой области, размеры которой устремляют затем к бесконечности, мы
получили бы значение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т.п.). Используемый же
нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения $u \vect P = dE$, приводит ко
воплне определенному конечному значению (даваемому формулой (\ref{eq:11.6}),
заведомо удовлетворящему физическому условию о связи изменения импульса с действующим на тело
силами.
}; отсюда следует,
что если $E$ выражено в виде (\ref{eq:11.4}), то компоненты $\vect P$ должны иметь вид
\begin{equation}
\label{eq:11.5}
P_i = m_{ik} u_k .
\end{equation}
Наконец, сравнение формул (\ref{eq:11.3} - \ref{eq:11.5}) показывает, что $\vect P$ выражается
через $\vect A$ следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:11.6}
\vect P = 4\pi \rho \vect A - \rho V_0 \vect u.
\end{equation}
Следует обратить внимание на то, что полный импульс жидкости оказывается вполне
определенной конечной величиной.
Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости импульс есть $d\vect P/dt$.
Взятый с обратным знаком, он определяет, очевидно, реакцию $\vect F$ жидкости,
т. е. действующую на тело силу:
\begin{equation}
\label{eq:11.7}
\vect F = - \D{\vect P}{t}.
\end{equation}
Параллельная скорости тела составляющая $\vect F$ называется \textit{силой
сопротивления}, а перпендикулярная составляющая - \textit{подъемной силой}.
Если бы было возможно потенциальное обтекание равномерно движущегося в идеальной
жидкости тела, то было бы $\vect P = \const$ (так как $\vect u = \const$) и
$\vect F = 0$. Другими словами, отсутствовала бы как сила сопротивления, так и
подъемная сила, т. е. действующие на поверхность тела со стороны жидкости силы
давления взаимно компенсируются (так называемый парадокс Даламбера).
Происхождение этого "парадокса" в особенности очевидно для силы сопротивления.
Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что
для поддержания движения какой-либо внешний источник должен непрерывно
производить работу, которая либо диссипи-руется в жидкости, либо преобразуется в
ее кинетическую энергию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку
энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энергии в идеальной
жидкости, по определению, нет, а скорость приводимой телом в движение жидкости
настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока
энергии на бесконечности тоже нет.
Следует, однако, подчеркнуть, что все эти соображения относятся лишь к движению
тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную
поверхность, то равномерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет
испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (называемой \textit{волновым
сопротивлением}) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости
системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на
бесконечность.
Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей на него внешней силы
$\vect f$ колебательное движение. При соблюдении рассмотренных в предыдущем
параграфе условий окружающая тело жидкость совершает потенциальное движение, и
для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полученными выше
соотношениями. Сила $\vect f$ должна быть равна производной по времени от
полного импульса системы, равного сумме импульса $M\vect u$ тела ($M$ - масса
тела) и импульса $P$ жидкости:
\[
M \D{\vect u}{t} + \D{\vect P}{t} = \vect f.
\]
С помощью (\ref{eq:11.5}) получаем отсюда:
\[
M \D{u_i}{t} + m_{ik}\D{u_k}{t} = f_i ,
\]
что можно написать также и в виде
\begin{equation}
\label{eq:11.8}
\D{u_k}{t}(M \delta_{ik} + m_{ik}) = f_i.
\end{equation}
Это и есть уравнение движения тела, погруженного видеальную жидкость.
Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость
производит под влиянием каких-либо внешних (по отношению к телу) причин
колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело
тоже начинает двигаться.
\footnote{Реч может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой распространяется звуовая волна с длиной волны, большей по сравнению с размерами тела.}
Выведем уравнение этого движения.
Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях
порядка величины линейных размеров тела. Пусть $\vv$ есть скорость жидкости в
месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было;
другими словами, $\vv$ есть скорость основного движения жидкости. По сделанному
предположению $\vv$ можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого
телом. Посредством $\vect u$ по-прежнему обозначаем скорость тела.
Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из
следующих соображений. Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было
бы $\vect v = \vect u$), то на него действовала бы такая же сила, которая бы
действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс этого
объема жидкости есть $\rho V_0 \vv$, и потому действующая на него сила равна
$\rho V_0 \D{\vv}{t}$. Но в действительности тело не увлекается полностью
жидкостью; возникает движение тела относительно жидкости, в результате чего сама
жидкость приобретает некоторое дополнительное движение. Связанный с этим
дополнительным движением импульс жидкости равен $m_{ik}(u_k-v_k)$ (в выражении
(\ref{eq:11.5}) надо теперь писать вместо $\vect u$ скорость $\vect{u-v}$ движения тела
относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к
появлению дополнительной силы реакции, действующей на тело и равной
$-m_{ik}d(u_k-v_k)$. Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна
\[
\rho V_0 \D{v_i}{t} - m_{ik} \frac{d}{dt}(u_k-v_k).
\]
Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом,
приходим к следующему уравнению движения:
\[
\frac{d}{dt}Mu_i = \rho V_0 \D{v_i}{t} - m_{ik} \frac{d}{dt}(u_k-v_k).
\]
Интегрируя с обеих сторон по времени, получаем отсюда:
\begin{equation}
\label{eq:11.9}
(M\delta_{ik}+m_{ik})u_k = (m_{ik}+\rho V_0 \delta_{ik})v_k.
\end{equation}
Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость $\vect u$
тела, приводимого жидкостью в движение, должна обратиться в нуль вместе со
скоростью жидкости $\vv$. Полученное соотношение определяет скорость тела по
скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости ($M=\rho V_0$),
то. как и следовало ожидать, $\vect{u=v}$.
\subsection*{Задачи}
\paragraph*{1}
Получить уравнение движения для шара, совершающего колебательное движение в
идеальной жидкости, и для шара, приводимого в движение колеблющейся жидкостью.
\texttt{Решение.} Сравнивая (\ref{eq:11.1}) с выражением для $\varphi$, полученным для
обтекания шара в задаче 2 \S10, видим, что
\[
\vect A = \vect u R^3/2
\]
($R$ — радиус шара). Полный импульс приводимой шаром в движение жидкости есть
согласно (\ref{eq:11.6}) $\vect P = 2\pi \rho R^3 \vect u/3$, так что теизор $m_{ik}$
равен
\[
m_{ik} = \frac{2\pi}{3}\rho R^3 \delta_{ik}.
\]
Испытываемая движущимся шаром сила сопротивления равна
\[
\vect F = - \frac{2\pi}{3}\rho R^3 \D{\vect u}{t},
\]
а уравнение движения колеблющегося в жидкости шара гласит:
\[
\frac{4\pi R^3}{3}\left( \rho_0 + \frac{\rho}{2} \right)\D{\vect u}{t} =
\vect f
\]
($\rho_0$ - плотность вещества шара). Коэффициент при $\vect u$ можно
рассматривать как некоторую эффективную массу шара; она складывается из массы
самого шара и из присоединенной массы, равной в данном случае половине массы
жидкости, вытесняемой шаром.
Если шар приводится в движение жидкостью, то для его скорости
получаем из (\ref{eq:11.9}) выражение
\[
\vect u =\frac{3\rho}{\rho + 2\rho_0}\vv.
\]
Если плотность шара превышает плотность жидкости ($\rho_0 > \rho$), то $u<v$, т,
е, шар отстает от жидкости; если же $\rho_0 < \rho$, то шар опережает ее,
\paragraph*{2}
Выразить действующий на движущееся в жидкости тело момент сил через вектор
$\vect A$.
\texttt{Решение.} Как известно из механики, действующий на тело момент сил
$\vect M$ определяется по его функции Лагранжа (в данном случае - по энергии
$E$) соотношением $\delta E = \vect{M\delta\theta}$, где $\delta\theta$ - вектор
бесконечно малого угла поворота тела, а $\delta E$ - изменение $E$ при этом
повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело на угол $\delta\theta$ (и
соответственно менять компоненты $m_{ik}$), можно повернуть на угол
$-\delta\theta$ жидкость относительно тела и соответственно изменить скорость
$\vect u$. Имеем при повороте $\delta\vect u = - \lbrack \delta\theta\vect u
\rbrack$, так что
\[
\delta E = \vect P \delta \vect u = - \delta\theta \lbrack \vect{uP} \rbrack
\]
Используя выражение (\ref{eq:11.6}) для $\vect P$, получаем отсюда искомую
формулу
\[
\vect M = - \lbrack \vect{uP} \rbrack = 4\pi\rho\lbrack\vect{Au}\rbrack
\]