-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.10.tex
666 lines (613 loc) · 43.1 KB
/
LL_6_01.10.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
\section{Несжимаемая жидкость}
\label{sec:p10}
В очень многих случаях течения жидкостей (и газов) их плотность можно считать
неизменяющейся, т. е. постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего
времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит
заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении
\textit{несжимаемой жидкости}.
Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой
жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем
$\rho = \const$, за исключением только того, что в уравнении (\ref{eq:2.4}) можно внести
$\rho$ под знак градиента:
\begin{equation}
\label{eq:10.1}
\pd{\vv}{t} + \vnv = - \nabla \frac{p}{\rho} + \vect g
\end{equation}
Зато уравнение непрерывности принимает при $\rho = \const$ простой вид
\begin{equation}
\label{eq:10.2}
\Div \vv = 0.
\end{equation}
Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, как это имеет
место в общем случае, то в качестве основной системы уравнений гидродинамики
несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость.
Такими уравнениями являются уравнение непрерывности (\ref{eq:10.2}) и уравнение (\ref{eq:2.11}):
\begin{equation}
\label{eq:10.3}
\pdt \rot \vv = \rot \vrv.
\end{equation}
Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжимаемой жидкости в более
простом виде. Уравнение (\ref{eq:10.1}) отличается от общего уравнения Эйлера (\ref{eq:2.9}) тем,
что вместо $\nabla w$ в нем стоит $\nabla(p/\rho)$. Поэтому мы можем сразу
написать уравнение Бернулли, заменив просто в (\ref{eq:5.4}) тепловую функцию
отношением $p/\rho$:
\begin{equation}
\label{eq:10.4}
\frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = \const.
\end{equation}
Для несжимаемой жидкости можно писать $p/\rho$ вместо $w$ также и в выражении
(\ref{eq:6.3}) для потока энергии, которое принимает тогда вид
\begin{equation}
\label{eq:10.5}
\rho \vv \left( \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} \right).
\end{equation}
Действительно, согласно известному термодинамическому соотношению имеем для
изменения внутренней энргии выражение $d\varepsilon = T\; ds - p\;dV$; при $s =
\const$ и $V=1/\rho = \const$ имеем $d\varepsilon=0$, т. е.
$\varepsilon=\const$. Поскольку же постоянные члены в энергии несущественны, то
можно опустить $\varepsilon$ и в $w=\varepsilon+p/\rho$.
В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой
жидкости. Уравнение (\ref{eq:10.3}) удовлетворяется при $\rot \vv = 0$ тождественно.
Уравнение же (\ref{eq:10.2}) при подстановке $\vv = \grad \varphi$ превращается в
\begin{equation}
\label{eq:10.6}
\Delta \varphi = 0,
\end{equation}
т. е. в уравнение Лапласа для потенциала $\varphi$ \footnote{Потенциал скорости был
впервые введен \em{Эйлером}. Им же было получено для этой величины уравнение вида
\ref{eq:10.6}, получившее впоследствии название уравнения Лапласа.}. К этому уравнению должны
быть добавлены граничные условия на поверхностях соприкосновения жидкости с
твердыми телами: на неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности
компонента $v_n$ скорости жидкости должна быть равна нулю, а в общем случае
движущихся твердых тел $v_n$ должна быть равна проекции скорости движения тела
на направление той же нормали (эта скорость является заданной функцией времени).
Скорость $v_n$ равна, с другой стороны, производной от потенциала $\varphi$ по
направлению нормали: $v_n = \pd{\varphi}{n}$. Таким образом, граничные условия
гласят в общем случае, что $\pd{\varphi}{n}$ является на границах заданной
функцией времени и координат.
При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (\ref{eq:9.3}).
В случае несжимаемой жидкости в этом уравнении можно писать $p/\rho$ вместо $w$:
\begin{equation}
\label{eq:10.7}
\pd{\varphi}{t} + \frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho} = f(t).
\end{equation}
\begin{wrapfigure}{l}{6cm}
% "l" or "r" for the side on the page.
% And the width parameter for the width of the image space.
\centering
\includegraphics[width=6cm]{fig2}
\caption{\label{fig:f2}}
\end{wrapfigure}
Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой
жидкости. Пусть через жидкость движется какое-нибудь твердое тело. Если
возникающее при этом течение жидкости является потенциальным, то это течение
зависит в каждый момент только от скорости движущегося тела в этот же момент
времени, но, например, не от его ускорения. Действительно, самое уравнение
(\ref{eq:10.6}) не содержит времени явно; время входит в решение лишь через граничные
условия, содержащие только скорость движущегося в жидкости тела.
Из уравнения Бернулли $v^2+p/\rho = \const$ видно, что при стационарном движении
несжимаемой жидкости (без поля тяжести) наибольшее значение давлений достигается
в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на
поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка $O$ на рис. 2) и называется
\textit{критической точкой}. Если $u$ - скорость натекающего на тело потока
жидкости (т. е. скорость жидкости на бесконечности), а $p_0$ - давление на
бесконечности, то давление в критической точке равно
\begin{equation}
\label{eq:10.8}
p_{max} = p_0 + \frac{\rho u^2}{2}.
\end{equation}
Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух
кородинат, скажем от $x$ и $y$, причем скорость параллельна везде плоскости
$xy$, то о таком течении говорят как о двухмерном или плоском. Для решения задач
о двухмерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать
скорость через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности
\[
\Div \vv \equiv \pd{v_x}{x} + \pd{v_y}{y} = 0
\]
видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде производных
\begin{equation}
\label{eq:10.9}
v_x = \pd{\psi}{y},\; v_y = -\pd{\psi}{x}
\end{equation}
от некоторой функции $\psi(x,y)$, называемой \textit{функцией тока}. Уравнение
непрерывности при этом удовлетворяется автоматически. Уравнение же, которому
должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (\ref{eq:10.9}) в уравнение (\ref{eq:10.3})
\begin{equation}
\label{eq:10.10}
\pdt \nabla \psi -
\pd{\psi}{x}\pd{\nabla\psi}{y}+
\pd{\psi}{y}\pd{\nabla\psi}{x} = 0
\end{equation}
Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для
стационарного движения жидкости. Действительно, дифференциальное уравнение линий
тока (при двухмерном течении) есть
\[
\frac{dx}{v_x} = \frac{dy}{v_y}
\]
или $v_y dx - v_x dy = 0$; оно выражает собой тот факт, что направление
касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости.
Подставляя сюда (\ref{eq:10.9}), получаем:
\[
\pd{\psi}{x}dx + \pd{\psi}{y}dy = d\psi = 0,
\]
откуда $\psi = \const$. Таким образом, линии тока представляют собой семейство
кривых, получающихся приравниванием функции тока $\psi(x,y)$ произвольной
постоянной.
Если между двумя точками 1 и 2 в плоскости $x,y$ провести кривую, то поток
жидкости $Q$ через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих
точках независимо от формы кривой. Действительно, если $v_n$ - проекция скорости
на нормаль к кривой в данной ее точке, то
\[
Q = \rho \int_{1}^{2} v_n\;dl =
\rho \int_{1}^{2} (-v_y\;dx + v_x\;dy) =
\rho \int_{1}^{2} d\psi,
\]
или
\begin{equation}
\label{eq:10.11}
Q = \rho (\psi_2 - \psi_1).
\end{equation}
Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой
жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций
комплексного переменного\footnote{Подробное изложение этих методов и их многочисленных
применений может быть найдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с более
математическим уклоном. Здесь мы ограничимся лишь объяснением основной идеи метода}.
Основание для этих применений заключается в следующем.
Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости посредством
\footnote{Напомним, однако, что существование самой по себе функции тока связано
только с двумерностью течения, и отнюдь не требует его потенциальности.}
\[
v_x=\pd{\varphi}{x}=\pd{\psi}{y},\; v_y = \pd{\varphi}{y}=-\pd{\psi}{x}.
\]
Но такие соотношения между производными функций $\varphi$ и $\psi$ с
математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана,
выражающими собой тот факт, что комплексное выражение
\begin{equation}
\label{eq:10.12}
w = \varphi + i\psi
\end{equation}
является аналитической функцией комплексного аргумента $z=x+iy$. Это значит,
что функция $w(x)$ будет иметь в каждой точке определенную производную
\begin{equation}
\label{eq:10.13}
\D{w}{z} = \pd{\varphi}{x}+i \pd{\psi}{x} = v_x - iv_y.
\end{equation}
Функцию $w$ называют \textit{комплексным потенциалом}, а $\D{w}{z}$ -
комплексной скоростью. Модуль и аргумент последней определяют абсолютную
величину скорости $v$ и угол $\theta$ ее наклона к направлению оси $x$:
\begin{equation}
\label{eq:10.14}
\D{w}{z} = v e^{-i\theta}.
\end{equation}
На твердой поверхности обтекаемого контура скорость должна быть направлена по
касательной к нему. Другими словами, контур должен совпадать с одной из линий
тока, т. е. на нем должно быть $\psi = \const$; эту постоянную можно выбрать
равной нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного контура сводится к
определению аналитической функции $w(z)$, принимающей на этом контуре
вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость
имеет свободную поверхность (такой пример - см. задачу 9 к этому параграфу).
Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкнутому контуру $C$ равен,
как известно, умноженной на $2\pi i$ сумме вычетов этой функции относительно ее
простых полюсов, расположенных внутри $C$; поэтому
\[
\oint w'\;dz = 2\pi i \sum_{k} A_k,
\]
где $A_k$ - вычеты комплексной скорости. С другой стороны, имеем:
\begin{eqnarray}
\oint w'\;dz =
\oint (v_x - i v_y)(dx + i dy) = \\
\oint (v_x dx + v_y dy) + i \oint (v_x dy - v_y dx).
\end{eqnarray}
Вещественная часть этого выражения есть не что иное, как циркуляция
$\bm\Gamma$ скорости по контуру $C$. Мнимая же часть (умноженная на $\rho$)
представляет собой поток жидкости через этот контур; при отсутствии внутри
контура источников жидкости этот поток равен нулю, и тогда имеем просто
\begin{equation}
\label{eq:10.15}
\bm\Gamma = 2\pi i \sum_{k} A_k
\end{equation}
(все вычеты $A_k$ при этом чисто мнимые).
Наконец, остановимся на условиях, при выполнении которых жидкость можно считать
несжимаемой. При адиабатическом изменении давления на $\Delta p$ плотность
жидкости изменится на
\[
\Delta \rho = \ddp{\rho}{p}{s} \Delta p.
\]
Но согласно уравнению Бернулли колебания давления в стационарно движущейся
жидкости - порядка величины $\Delta p \sim \rho v^2$. Производная же
$\partial p/\partial \rho$ представляет собой (как мы увидим в \S64)
квадрат скорости звука $c$ в жидкости. Таким образом, находим оценку
\[
\Delta \rho \sim \rho v^2/c^2.
\]
Жидкость можно считать несжимаемой, если $\Delta \rho / \rho \ll 1$. Мы видим,
что необходимым условием для этого является малость скорости ее движения по
сравнению со скоростью звука:
\begin{equation}
\label{eq:10.16}
v \ll c.
\end{equation}
Это условие достаточно, однако, только при стационарном движении. При
нестационарном движении необходимо выполнение еще одного условия. Пусть $\tau$ и
$l$ - величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость
жидкости испытывает заметное изменение. Сравнив члены $\partial \vv /\partial t$
и $\nabla p/\rho$ в уравнении Эйлера, получим, по порядку величины, $v/\tau \sim
\nabla p /l \rho$ или $\nabla p \sim l \rho v/\tau$, а соответствующее изменение
$\rho$ есть $\nabla \rho \sim l \rho v/ \tau c^2$. Сравнив теперь члены
$\partial \rho / \partial t$ и $\rho \Div \vv$ в уравнении непрерывности,
найдем, что производной $\partial \rho / \partial t$ можно пренебречь (т. е.
можно считать, что $\rho = \const$) в случае, если $\nabla \rho/\tau \ll \rho
v/l$ или
\begin{equation}
\label{eq:10.17}
\tau \gg \frac{l}{c}.
\end{equation}
Выполнение обоих условий (\ref{eq:10.16}) и (\ref{eq:10.17}) достаточно для того, чтобы можно было
считать жидкость несжимаемой. Условие (\ref{eq:10.17}) имеет наглядный смысл - оно
означает, что время $l/c$, в течение которого звуковой сигнал пройдет расстояние
$l$, мало по сравнению со временем $\tau$, в течение которого заметно изменяется
движение жидкости и, таким образом, дает возможность рассматривать процесс
распространения взаимодействий в жидкости как мгновенный.
\subsection*{Задачи}
\paragraph*{1} Определить форму поверхности несжимаемой жидкости в поле
тяжести в цилиндрическом сосуде, вращаюш,емся вокруг своей оси с постоянной
угловой скоростью $\Omega$.
\texttt{Решение.} Ось $z$ выбираем по оси цилиндра. Тогда
$v_x=\Omega y, v_y=\Omega x, v_z = 0$. Уравнение непрерывности удовлетворяется
автоматически, а уравнение Эйлера (\ref{eq:10.1}) дает:
\[
x\Omega^2 = \frac1{\rho}\pd{p}{x},\;
y\Omega^2 = \frac1{\rho}\pd{p}{y},\;
\frac1{\rho}\pd{p}{z} + g = 0.
\]Общий интеграл этих уравнений есть
\[
\frac{p}{\rho} = \frac{1}{2}\Omega^2(x^2+y^2) - gz + \const.
\]
Ha свободной поверхности $p=\const$, так что эта поверхность является
параболоидом: $z = \left(\frac{\Omega^2}{2g}\right)(x^2)+y^2$
(начало координат - в низшей точке поверхности).
\paragraph*{2} Шар (радиуса $R$) движется в несжимаемой идеальной жидкости
Определить потенциальное течение жидкости вокруг шара.
\texttt{Решение.} На бесконечности скорость жидкости должна обращаться в нуль.
Обращающимися на бесконечности в нуль решениями уравнения Лапласа $\nabla
\varphi = 0$ являются, как известно, $1/r$ и производные различных порядков от
$1/r$ по координатам (начало координат - в центре шара). Ввиду полной симметрии
шара в решение может войти лишь один постоянный вектор - скорость $\vect u$, а
ввиду линейности уравнения Лапласа и граничного условия к нему $\varphi$ должно
содержать и линейным образом. Единственным скаляром, который можно составить из
$\vect u$ н производных от $1/r$, является произведение $\vect u \nabla(1/r)$.
Соответственно этому ищем $\varphi$ в виде
\[
\varphi = \vect A \nabla \frac1{r} = - \frac{\vect A \vect n}{r^2}
\]
($\vect n$ — единичный вектор в направлеини радиус-вектора). Постоянная
$\vect A$ определяется из условия равенства нормальных к поверхности шара
компонент скоростей $\vect v$ и $\vect u$ $(\mathbf{vn = un})$ при $r=R$.
Это условие дает $A=\vect u R^3/2$, так что
\[
\varphi = - \frac{R^3}{2r^2}\vect{un},\;
\vect v = \frac{R^3}{2r^3}\lbrack 3\vect{n(un)-u}\rbrack.
\]
Распределение давления определяется формулой (\ref{eq:10.7}):
\[
p = p_0 - \frac{\rho v^2}{2} - \rho \pd{\varphi}{t}
\]
($p_0$ — давление на бесконечности). При вычислении производной
$\partial \varphi/\partial t$ надо иметь в виду, что начало координат
(выбранное нами в центре шара) смещается со временем со скоростью $u$. Поэтому
\[
\pd{\varphi}{t} = \pd{\varphi}{\vect u}\dot{\vect u} - \vect u \nabla \varphi.
\]
Распределение давления иа поверхности шара даетси формулой
\[
p = p_0 + \frac{\rho u^2}{8}(9\cos^2\theta - 5) + \frac{\rho}{2}R\vect n \D{\vect u}{t}
\]
($\theta$ - угол между $\vect n$ и $\vect u$).
\paragraph*{3}
То же для бесконечного цилиндра, движущегоси перпендикулярно к своей оси
\footnote{Решение более общих задач о потенциальном обтекании эллипсоида и цилиндра
эллиптического сечения см. в книгах:
\em{Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В.}, Теоретическая гидромеханика. - Физматгиз, 1963,
ч. 1, гл. VII; \em{Лэмб Г.} Гидродинамика. - М.: Гостехиздат, 1947, \S\S103-116
(\em{Lamb H.} Hydrodynamics. - Cambridge, 1932)}.
\texttt{Решение.} Течение не зависит от координаты вдоль оси цилиядра, так что
приходится решать двухмерное уравнение Лапласа. Обращающимися в нуль на
бесконечности решениями являются производные от $\ln r$ по координатам,
начиная от первого порядка и выше ($\vect r$ — перпендикулярный к оси цилиндра
радиус-вектор). Ищем решение в виде
\[
\varphi = \vect A \nabla \ln r = \frac{\vect{An}}{r}
\]
и с помощью граничных условий получаем $\vect A = -R^2 \vect u$, так что
\[
\varphi = - \frac{R^2}{r}\vect{un},\;
v = \frac{R^2}{r^2}\lbrack 2 \vect{n(un)-u} \rbrack.
\]
Давление на поверхности цилиндра дается формулой
\[
p = p_0 + \frac{\rho u^2}{2}(4\cos^2\theta - 3) + pR\vect n\D{\vect u}{t}
\]
\paragraph*{4}
Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости в
эллипсоидальном сосуде, вращающемся вокруг одной из своих главных осей с угловой
скоростью $\Omega$; определить полный момент импульса жидкости в сосуде.
\texttt{Решение.} Выбираем декартовы координаты $x,y,z$ вдоль осей эллипсоида в
данный момент времени; ось вращения совпадает с осью $z$. Скорость Стенки сосуда
есть $\vect u = \lbrack \Omega \vect r \rbrack$, так что граничное условие
$v_n=\partial\varphi/\partial n=u_n$ есть
\[
\pd{\varphi}{n} = \Omega(xn_y-yn_x),
\]
или, используя уравнение эллипсоида $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$:
\[
\frac{x}{a^2}\pd{\varphi}{x} +
\frac{y}{b^2}\pd{\varphi}{y} +
\frac{z}{c^2}\pd{\varphi}{z} =
xy\Omega\left(\frac1{b^2}+\frac1{a^2}\right)
\]
Решение уравнение Лапласа, удовлетворяющее этому условию, есть
\begin{equation}
\label{eq:10_tasks_1}
\varphi = \Omega \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}xy.
\end{equation}
Момент импульса жидкости в сосуде
\[
M = \rho \int (xv_y-yv_x)dV.
\]
Интегрируя по объему эллипсоида, получаем
\[
M = \frac{\Omega \rho V}{5}\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2}.
\]
Формула (\ref{eq:10_tasks_1}) определяет абсолютное движение жидкости, отнесенное к мгновенному
положению осей $x,y,z$, связанных с вращающимся сосудом. Движение же
относительно сосуда (т, е, относительно вращающейся системы координат $x,y,z$),
получится вычитанием скорости $\lbrack \vect{\Omega r} \rbrack$ из абсолютной
скорости жидкости; обозначив относительную скорость жидкости $v'$, имеем
\[
v'_x = \pd{\varphi}{x}+\Omega y = \frac{2\Omega a^2}{a^2+b^2}y,
v'_y = - \frac{2\Omega b^2}{a^2+b^2}x,
v'_z = 0.
\]
Траектории относительного движения получаются путем интегрирования уравнений
$\dot x = v'_x, \; \dot y = v'_y$ и представляют эллипсы
$x^2/a^2+y^2/b^2 = \const$, подобные граничному эллипсу.
\paragraph*{5}
Определить течение жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле (рис. 2).
\texttt{Решение.} Малый участок поверхности тела вблизи критической точки можно
рассматривать как плоский. Выбираем его в качестве плоскости $xy$. Разлагая
$\varphi$ при малых $x,y,z$ в ряд, имеем с точностью до членов второго порядка;
\[
\varphi = ax + by + cz + Ax^2 + By^2 + Dxy + Eyz + Fxz
\]
(постоянный член в $\varphi$ несуществен). Постоянные коэффициенты определяем
так, чтобы $\varphi$ удовлетворяло уравнению $\nabla \varphi = 0$ и граничным
условиям $v_z = \partial \varphi/\partial z$ при $z = 0$ и всех $x,y$ и
$\partial \varphi/\partial x = \partial \varphi/\partial y = 0$ при
$x=y=z=0$ (в критической точке). Это дает
\[
a=b=c=0;\; C=-A-B, E=F=0.
\]
\begin{wrapfigure}{l}{6cm}
\centering
\includegraphics[width=6cm]{fig3}
\caption{\label{fig:f3}}
\end{wrapfigure}
Член $Dxy$ может быть всегда исключен соответствующим поворотом осей $x$ и $y$.
В результате получаем:
\begin{equation}
\label{eq:10t2}
\varphi = Ax^2+By^2-(A+B)z^2.
\end{equation}
Если течение обладает аксиальной симметрией вокруг оси $z$ (симметричное
обтекание тела вращения), то должно быть $A = B$, так что
\begin{equation}
\label{eq:10t3}
\varphi = A(x^2 + y^2 -2z^2).
\end{equation}
Компоненты скорости равны
\[
v_x = 2Ax,
v_y = 2Ay,
v_z = -4Az,
\]
Линии тока определяются уравнениями (\ref{eq:5.2}), откуда $x^2z=c_1,\;y^2z=c_2$, т.е.
линии тока являются кубическими гиперболами.
Если течение является однородным вдоль оси $y$ (например, при обтекании в
направлении оси $z$ цилиндра с осью вдоль оси $y$), то в (\ref{eq:10t2}) должно быть $B=0$,
так что
\[
\varphi = A(x^2 - z^2).
\]
Линиями тока являются гиперболы $xz = \const$.
\paragraph*{6}
Определить движение жидкости при потенциальном обтекании угла, образованного
двумя пересекающимися плоскостями (вблизи вершины угла).
\texttt{Решение.} Выбираем полярные координаты $r,\theta$ в плоскости
поперечного сечеиия, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом
в вершине угла. Угол $\theta$ отсчитывается от одной из прямых, образующих
сечение угла. Пусть $\alpha$ есть величина обтекаемого угла; при $\alpha<\pi$
течение происходит внутри угла, при $\alpha>\pi$ - вне его. Граничное условие
исчезновения нормальной составляющей скорости гласит $d\varphi/d\theta = 0$ при
$\theta = 0$ и $\alpha$. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа
пишем в виде \footnote{Выбираем решение с наиболее низкой (малые $r$!) положительной степенью $r$.}
\[
\varphi = Ar^n\cos n\theta,\; n = \pi/\alpha,
\]
так что
\[
v_r = nAr^{n-1}\cos n\theta,\; v_{\theta}=-nA^{n-1}\sin n\theta.
\]
При $n<1$ (обтекание выпуклого угла; рис. 3) $v$ обращается в начале координат
в бесконечность как $r^{-(1-n)}$. При $n>1$ (течение внутри вогнутого
угла - рис, 4) $v$; обращается при $r=0$ в нуль.
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\centering
\includegraphics[width=6cm]{fig4}
\caption{\label{fig:f4}}
\end{wrapfigure}
Функция тока, определяющая форму линий тока, есть
\[
\psi = Ar^n \sin n\theta.
\]
Полученные для $\varphi$ п $\psi$ выражения являются вещественной и мнимой
частями комплексного по-тенииала $w = Az^n$ \footnote{Задачи 5 и 6, если рассматривать
граничные плоскости в них как бесконечные, вырождены в том смысле, что значения постоянных
коэффициентов $A,B$ в нх решениях остаются неопределенными. В реальных случаях обтекания
конечных тел эти значения определяются условиями задачи в целом.}.
\paragraph*{7}
Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется
сферический объем радиуса $a$. Определить время, в течение которого
образоваишаяся полость заполнится жидкостью (\textit{Besant}, 1859;
\textit{Rayleigh}, 1917).
\texttt{Решение.} Движение жидкости после образования полости будет
центрально-симметрическим со скоростями, иаправлеииыми в каждой точке по
радиусу к центру. Для радиальной скорости
\[
v_r \equiv v<0
\]
имеем уравнение Эйлера (в сферических координатах)
\begin{equation}
\label{eq:10t4}
\pd{v}{t} + v \pd{v}{r} = - \frac1{\rho} \pd{p}{r}.
\end{equation}
Уравнение непрерывности дает:
\begin{equation}
\label{eq:10t5}
r^2v = F(t),
\end{equation}
где $F(t)$ - произвольная функция времени; это равенство выражает собой тот
факт, что в силу несжимаемости жидкости объем, протекающий через сферу любого
радиуса, не зависит от последнего.
Подставляя $v$; из (\ref{eq:10t4}) в (\ref{eq:10t5}), имеем:
\[
\frac{F'(t)}{r^2} + v \pd{v}{r} = - \frac1{\rho} \pd{p}{r},
\]
Интегрируя это уравнение по $r$ в пределах от $\infty$ до радиуса
\[
R = R(t) \leq a
\]
заполняющейся полости, получим:
\begin{equation}
\label{eq:10t6}
- \frac{F'(t)}{R(t)} + \frac{V^2}{2} = \frac{p_0}{\rho},
\end{equation}
где $V = dR(t)/dt$ - скорость изменения радиуса полости, а $p_0$ - давление на
бесконечности; скорость жидкости на бесконечности, а также давление на
поверхности полости равны нулю. Написав соотношение (\ref{eq:10t5}) для точек на поверхности
полости, находим:
\[
F(t) = R^2(t)V(t).
\]
и, подставив это выражение для $F(t)$ в (\ref{eq:10t6}), получим следующее уравнение
\begin{equation}
\label{eq:10t7}
- \frac{2V^2}{2} - \frac{1}{2} R \D{V^2}{R} = \frac{p_0}{\rho}.
\end{equation}
в этом уравнении переменные разделяются и, интегрируя его при начальном условии
$V=0$ при $R=a$ (в начальный момент жидкость покоилась), найдем:
\[
V = \D{R}{t} = - \sqrt{\frac{2p_0}{3\rho}\left(\frac{a^3}{R^3}-1\right)}.
\]
Отсюда имеем для искомого полного времени заполнения полости:
\[
\tau = \sqrt{\frac{3\rho}{2p_0}}\int_0^a{\frac{dR}{\sqrt{(a/R)^3}-1}}.
\]
Этот интеграл приводится к виду $B$-интеграла Эйлера, и вычисление дает
окончательно:
\[
\tau = \sqrt{\frac{3a^2 \rho \pi}{2p_0}} \frac{\Gamma(5/6)}{\Gamma(1/3)} =
0,915a \sqrt{\frac{\rho}{p_0}}.
\]
\paragraph*{8}
Погруженная в несжимаемую жидкость сфера расширяется по заданному закону
$R=R(t)$. Определить давление жидкости на поверхности сферы.
\texttt{Решение.} Обозначим искомое давление посредством $P(t)$. Вычисления в
точности аналогичны произведенным в предыдущей задаче с той лишь разницей, что
при $r=R$ давление равно не нулю, а $P(t)$. В результате получим вместо
(3) уравнение
\[
- \frac{F'(t)}{R(t)} + \frac{V^2}{2} = \frac{p_0}{\rho} - \frac{P(t)}{\rho}
\]
и соответственно вместо (4) уравнение
\[
\frac{p_0 - P(t)}{\rho} = - \frac{3V^2}{2} - RV \D{V}{R}.
\]
Имея в виду, что $V=dR/dt$, можно привести выражение для $P(t)$ к виду
\[
P(t) = p_0 + \frac{\rho}{2}\left\lbrack \frac{d^2(R^2)}{dt^2} +
\left( \D{R}{t} \right)^2 \right\rbrack.
\]
\paragraph*{9}
Определить форму струн, вытекающей из бесконечно длинной щели
прорезанной в плоской стенке.
\texttt{Решение.} Пусть в плоскости $x,y$ стенка совпадает с осью $x$,
отверстие есть отрезок $-a/2 \leq x \leq a/2$ этой оси, а жидкость занимает
полуплоскость $y>0$. Вдали от стенки (при $y \to \infty$) скорость жидкости
равна нулю, а давление пусть будет $p_0$.
\begin{figure}[hb]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{fig5}
\caption{\label{fig:f5}}
\end{figure}
На свободной поверхности струя ($BC$ и $B'C'$ на рис. 5,а) давление $p=0$, а
скорость согласно уравнению Бернулли имеет постоянную величину $v_1 =
\sqrt{2p_0/\rho}$. Линии стенки, продолжающиеся в свободную границу струи,
представляют собой линии тока. Пусть на лниии $ABC$ $\psi = 0$; тогда на линии
$A'B'C'$ $\psi = -Q/\rho$. Где $Q = \rho a_1 v_1$ - расход жидкости в струе
($a_1$, $v_1$ - ширина струн и скорость жидкости в ней на бесконечности).
Потенциал $\varphi$ меняется как на линии $ABC$, так и на линии $A'B'C'$ от
$-\infty$ до $+\infty$; пусть в точках $B$ и $B' \varphi = 0$, Тогда в плоскости
комплексного переменного $w$ области течения будет соответствовать бесконечная
полоса ширины $Q/\rho$ (обозначения точек на рис, 5,б - г соответствуют
обозначениям на рис, 5,а в плоскости $x,y$). Введем новую комплексную переменную
- логарифм комплексной скорости:
\begin{equation}
\label{eq:10t9.1}
\zeta = - \ln \left\lbrack \frac1{v_1 e^{i\pi/2}} \D{w}{z} \right\rbrack =
\ln \frac{v_1}{v} + i \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)
\end{equation}
($v_1 e^{i\pi/2}$ - комплексная скорость на бесконечности струи). На $A'B'$
имеем $\theta = 0$; на $AB \theta = - \pi$ на $BC$ и $B'C'$ $v=v_1$, причем на
бесконечности струн $\theta = - \pi/2$. Поэтому в плоскости переменного $\zeta$
области течения соответствует полуполоса ширины $\pi$, расположенная в правой
полуплоскости (рис, 5, в). Если мы теперь найдем конформное преобразование,
переводящее полосу плоскости $w$ в полуполосу плоскости $\zeta$ (с указанным на
рис. 5 соответствием точек), то тем самым мы определим $w$ как функцию от
$dw/dz$; функция $w$ может быть найдена затем одной квадратурой.
Для того чтобы найти искомое преобразование, введем еще одну вспомогательную
комплексную переменную $u$, такую, чтобы в плоскости $u$ области течения
соответствовала верхняя полуплоскость, причем точкам $B$ и $B'$ соответствуют
точки $u=\pm 1$, точкам $C,C'\; u = 0$, а бесконечно удаленным точкам $A$ и $A'$
$u = \pm \infty$ (рис, 5,г). Зависимость $w$ от этой вспомогательной переменной
определяется конформным преобразованием, переводящим верхнюю полуплоскость $u$ в
полосу плоскости $w$. При условленном соответствии точек это есть
\begin{equation}
\label{eq:10t9.2}
w = - \frac{Q}{\rho\pi}\ln u
\end{equation}
Чтобы найти зависимость $\zeta$ от $u$, надо найти конформное отображение
полуполосы плоскости $\zeta$, в верхнюю полуплоскость $u$. Рассматривая эту
полуполосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность,
можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца-Кристоффеля;
ответ гласит
\begin{equation}
\label{eq:10t9.3}
\zeta = - i \arcsin u.
\end{equation}
Формулы (\ref{eq:10t9.2}), (\ref{eq:10t9.3}) решают задачу, определяя в параметрическом виде зависимость
$dw/dz$ от $w$.
Определим форму струи. На $BC$ имеем
$w = \varphi,\; \zeta = i \left( \frac{\pi}{2}+\theta \right) $, а $u$
меняется между 0 и 1. Из (\ref{eq:10t9.2}) и (\ref{eq:10t9.3}) получим:
\begin{equation}
\label{eq:10t9.4}
\varphi = - \frac{Q}{\rho \pi}\ln (-\cos \theta),
\end{equation}
а из (1) $d\varphi/dz = v_1 e^{-i\theta}$, или
\[
dz \equiv dx + i\; dy = \frac1{v_1} e^{i\theta}d\varphi =
\frac{a_1}{\pi} e^{i\theta} \tan \theta\; d\theta,
\]
откуда интегрированием (с условиями $y=0, x=a/2$ при $\theta = - \pi$) найдем
в параметрическом виде форму струи, В частности, для сжатия струи получается
$a_1/a = \pi/(2+\pi) = 0,61$.