-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.08.tex
131 lines (122 loc) · 8.3 KB
/
LL_6_01.08.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
%parent: current_section.tex
\section{Сохранение циркуляции скорости}
\label{sec:p8}
Интеграл
\[
\bm\Gamma = \oint \vv \; d\vect l,
\]
взятый вдоль замкнутого контура, называют \textit{циркуляцией скорости} вдоль
этого контура.
Рассмотрим замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени.
Будем рассматривать его как "жидкий", т. е. как составленный из находящихся на
нем частиц жидкости. С течением времени эти частицы передвигаются, а с ними
перемещается и весь контур. Выясним, что происходит при этом с циркуляцией
скорости вдоль контура. Другими словами, вычислим производную по времени
\[
\frac{d}{dt}\oint \vv\; dl.
\]
Мы пишем здесь полную производную по времени соответственно тому, что ищем
изменение циркуляции вдоль перемещающегося жидкого контура, а не вдоль контура,
неподвижного в пространстве.
Во избежание путаницы будем временно обозначать дифференцирование по координатам
знаком $\delta$, оставив знак $d$ для дифференцирования по времени. Кроме того,
заметим, что элемент $d\vect l$ длины контура можно написать в виде разности
$\delta\vect{r}$ радиус-векторов $r$ точек двух концов этого элемента. Таким
образом, напишем циркуляцию скорости в виде
\[
\oint\vv\dr
\]
При дифференцировании этого интеграла по времени надо иметь в виду, что меняется
не только скорость, но и сам контур (т. е. его форма). Поэтому, внося знак
дифференцирования по времени под знак интеграла, надо дифференцировать не только
$\vv$, но и $\dr$:
\[
\frac{d}{dt}\oint\vv\dr = \oint{\D{\vv}{t}\dr}+\oint{\vv\D{\dr}{t}}.
\]
Поскольку скорость $\vv$ есть не что иное, как производная по времени от
радиус-вектора $\vect r$, то
\[
\vv \D{\dr}{t} = \vv\delta\D{\vect r}{t} = \vv\delta\vv = \delta \frac{v^2}{2}
\]
Но интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю. Поэтому
второй из написанных интегралов исчезает и остается
\[
\frac{d}{dt}\oint \vv \dr = \oint{\D{\vv}{t}\dr}.
\]
Теперь остается подставить сюда для ускорения $d\vv/dt$ его выражение согласно
(2,9):
\[
\D{\vv}{t} = - \grad w.
\]
Применив формулу Стокса, получаем тогда (поскольку $\rot \grad w = 0$):
\[
\oint{\D{\vv}{t}\dr} = \int{\rot \D{\vv}{t}\delta \vect f} = 0.
\]
Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно
\footnote{Этот результат сохраняет силу и в однородном поле тяжести, так как
$\rot \vect g \equiv 0$.}:
\[
\frac{d}{dt}\oint \vv\; d \vect l = 0,
\]
или
\begin{equation}
\label{eq:8.1}
\oint \vv\; d \vect l = \const.
\end{equation}
Мы приходим к результату, что (в идеальной жидкости) циркуляция скорости вдоль
замкнутого жидкого контура остается неизменной со временем. Это утверждение
называют \textit{теоремой Томсона} (\textit{W. Thomson}, 1869) или
\textit{законом сохранения циркуляции скорости}. Подчеркнем, что он получен
путем использования уравнения Эйлера в форме (\ref{eq:2.9}) и потому связан с
предположением об изэнтропичности движения жидкости. Для неизэнтропического
движения этот закон не имеет места \footnote{С математической точки зрения необходимо,
чтобы между $p$ и $\rho$ существовала однозначная связь (при изэнтропическом движении
она определяется уравнением $s(p,\rho) = \const$). Тогда вектор $- \nabla p/\rho$ может
быть написан в виде градиента некоторой функции, что и требуется для вывода теоремы Томсона.}.
Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру $\delta C$
и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:
\begin{equation}
\label{eq:8.2}
\oint \vv\; d\vect l = \int \rot \vv\; d\vect f \approx \delta \vect f \cdot
\rot \vv = \const,
\end{equation}
где $d\vect f$ — элемент жидкой поверхности, опирающийся на контур $\delta C$.
Вектор $\rot \vv$ часто называют \textit{завихренностью}\footnote{По английской терминологии
- vorticity.} течения жидкости в
данной ее точке. Постоянство произведения (\ref{eq:8.2}) можно наглядно истолковать,
сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.
\subsection*{Задача}
Показать, что при нензэнтропическом течении для каждой перемещающейся частицы
остается постоянным связанное с ней значение произведения
$(\nabla s \cdot \rot \vv)/\rho$ (\textit{H. Ertel}, 1942).
\texttt{Решение.} При нензэнтропическом движении правая сторона уравнения Эйлера
(\ref{eq:2.3}) не может быть заменена на $- \nabla w$ и вместо уравнения (\ref{eq:2.11})
получается
\[
\pd{w}{t} = \rot \lbrack \vv \vo \rbrack + \frac1{\rho^2}
\lbrack \nabla \rho \cdot \nabla p \rbrack
\]
(для краткости обозначено $\vo = \rot \vv$). Умножим это равенство на
$\nabla s$; поскольку $s = s(p,\rho)$, $\nabla s$ выражается линейно через
$\nabla p$ и $\nabla \rho$ и произведение
$\nabla s \lbrack \nabla \rho \cdot \nabla p \rbrack$. После этого выражение
в правой стороне уравнения преобразуем следующим образом:
\begin{eqnarray*}
\nabla s \pd{\vo}{t} =
\nabla s \cdot \rot \lbrack \vv \vo \rbrack = \\
- \Div \lbrack \nabla s \lbrack \vv \vo \rbrack \rbrack =
- \Div (\vv (\vo \nabla s)) + \Div (\vo (\vv \nabla s)) = \\
- (\vo \nabla s) \Div \vv - \vv \grad (\vo \nabla s) + \vo \grad (\vv \nabla s)
\end{eqnarray*}
Согласно (\ref{eq:2.6}) заменяем $(\vv \nabla s) = - \partial s/\partial t$ и получаем
уравнение
\[
\pdt (\vo \nabla s) +\vv \grad (\vo \nabla s) + (\vo \nabla s) \Div v = 0.
\]
Первые два члена объединяются в $d(\vo \nabla s)/dt$ (где
$d/dt = \partial/\partial t + (\vv \nabla)$), а в последнем заменяем согласно
(\ref{eq:1.3}) $\rho \Div \vv = - d \rho / dt$. В результате получаем
\[
\frac{d}{dt} \frac{\vo \nabla s}{\rho} = 0,
\]
чем и выражается искомый закон сохранения.