-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_01.07.tex
92 lines (86 loc) · 5.34 KB
/
LL_6_01.07.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
\section{Поток импульса}
\label{sec:p7}
Произведем теперь аналогичный вывод для импульса жидкости. Импульс единицы
объема жидкости есть $\rho \vv$. Определим скорость его изменения:
\[
\pdt \rho \vv
\]
Будем производить вычисления в тензорных обозначениях. Имеем:
\[
\pdt \rho v_i = \rho \pd{v_i}{t} + \pd{\rho}{t} v_i .
\]
Воспользуемся уравнением непрерывности (\ref{eq:1.2}), написав его в виде
\[
\pd{\rho}{t} = - \pd{(\rho v_k)}{x_k}
\]
и уравнением Эйлера (\ref{eq:2.3}) в форме
\[
\pd{v_i}{t} = -v_k \pd{v_i}{x_k} - \frac1{\rho}\pd{p}{x_i}
\]
Тогда получим:
\[
\pdt \rho v_i = - \rho v_k \pd{v_i}{x_k} - \pd{p}{x_i}
- v_i \pd{(\rho v_k)}{x_k} = - \pd{p}{x_i} - \pd{\rho v_i v_k}{x_k}
\]
Первый член справа напишем в виде
\[
\pd{p}{x_i} = \delta_{ik}\pd{p}{x_k}
\]
и находим окончательно:
\begin{equation}
\label{eq:7.1}
\pdt \rho v_i = - \pd{\Pi_{ik}}{x_k},
\end{equation}
где тензор $\Pi_{ik}$ определяется как
\begin{equation}
\label{eq:7.2}
\Pi_{ik} = p \delta_{ik} + \rho v_i v_k .
\end{equation}
Он, очевидно, симметричен.
Для выяснения смысла тензора $\Pi_{ik}$ проинтегрируем уравнение (\ref{eq:7.1}) по
некоторому объему:
\[
\pdt \int{\rho v_i\; dV} = - \int{\pd{\Pi_{ik}}{x_k}\; dV}
\]
Стоящий в правой стороне равенства интеграл преобразуем в интеграл по
поверхности \footnote{Правило преобразования интеграла по замкнутой поверхности
в интеграл по охватываемому этой поверхности объему можно сформулировать следующим
образом: оно осуществляется заменой элемента поверхности $df_i$ оператором $dV \frac{\partial}{\partial x_i}$, который должен быть применен ко всему подинтегральному выражению
\[
df_i \rightarrow dV \frac{\partial}{\partial x_i}
\]
}:
\begin{equation}
\label{eq:7.3}
\pdt \int{\rho v_i\; dV} = - \oint{\Pi_{ik}\; df_k}
\end{equation}
Слева стоит изменение в единицу времени $i$-й компоненты импульса в
рассматриваемом объеме. Поэтому стоящий справа интеграл по поверхности есть
количество этого импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую
объем поверхность. Следовательно, $\Pi_{ik}\; df_k$ есть $i$-я компонента
импульса, протекающего через элемент $df$ поверхности. Если написать $df_k$ в
виде $n_k df$ - абсолютная величина элемента поверхности, $\vect n$ - единичный
вектор внешней нормали к нему), то мы найдем, что $\Pi_{ik}n_k$ есть поток $i$-й
компоненты импульса, отнесенный к единице площади поверхности. Заметим, что
согласно (\ref{eq:7.2}) $\Pi_{ik}n_k = pn_i + \rho v_i v_k n_k$; это вырзжение может быть
написано в векторном виде как
\begin{equation}
\label{eq:7.4}
p \vect n + \rho \vect v (\vect{vn}).
\end{equation}
Таким образом, $\Pi_{ik}$ есть $i$-я компонента количества импульса,
протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси
$x_k$. Тензор $\Pi_{ik}$ называют \textit{тензором плотности потока импульса.}
Поток энергии, являющейся скалярной величиной, определяется вектором; поток же
импульса, который сам есть вектор, определяется тензором второго ранга.
Вектор (\ref{eq:7.4}) определяет поток вектора импульса в направлении п, т. е. через
поверхность, перпендикулярную к $\vect n$. В частности, выбирая направление
единичного вектора $\vect n$ вдоль направления скорости жидкости, мы найдем, что
в этом направлении переносится лишь продольная компонента импульса, причем
плотность ее потока равна
\[
p + \rho v^2.
\]
В направлении же, перпендикулярном к скорости, переносится лишь поперечная
(по отношению к $\vv$) компонента импульса, а плотность ее потока равна просто
$p$.