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Author: ODAncona

corriges/serie5.pdf

@@ -1,16 +1,16 @@
 \begin{exo}
-  \donnee{Considérons une variable aléatoire $\X$ dont la fonction de densité est $f_x(u)=
+  \donnee{Considérons une variable aléatoire $X$ dont la fonction de densité est $f_x(u)=
   	\begin{cases}
   		\frac{1}{2} & \text{si $-1\leq u \leq 1$ } \\
   		0 & \text{ sinon.} \\
   	\end{cases}$
   Calculez les probabilités:}
-	\begin{subexo}{$P(\X = \frac{3}{4})$}
+	\begin{subexo}{$P(X = \frac{3}{4})$}
 		\begin{center}
-			La probabilité $P(\X = \frac{3}{4}) = 0$
+			La probabilité $P(X = \frac{3}{4}) = 0$
 		\end{center}
 	\end{subexo}
-	\begin{subexo}{$P(-\frac{1}{2} \leq \X \leq \frac{1}{2})$}
+	\begin{subexo}{$P(-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2})$}
 		\begin{flushleft}
 			\begin{align*}
 			\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{F(x)}dx &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}du\\
@@ -20,10 +20,44 @@
 			\end{align*}
 		\end{flushleft}
 	\end{subexo}
-	\begin{subexo}{$P(\X \leq \frac{1}{2})$}
+	\begin{subexo}{$P(X \leq \frac{1}{2})$}
+		\begin{flushleft}
+			\begin{align*}
+				\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{F(x)}dx &=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}du\\
+				&= \dfrac{u}{2}\bigg\vert_{-1}^{\frac{1}{2}}\\
+				&= \frac{1}{4}-(-\frac{1}{2}) \\
+				&= \frac{3}{4}
+			\end{align*}
+		\end{flushleft}
 	\end{subexo}
-	\begin{subexo}{$P(\X^{2} \geq \frac{1}{4})$}
+	\begin{subexo}{$P(X^{2} \geq \frac{1}{4})$}
+		\begin{flushleft}
+			\begin{center}
+				Premièrement, observons que le problème est équivalent à: $P(\abs{X} \geq \frac{1}{2})$.
+				Il s'en suit, $ 
+				\abs{X} \geq \frac{1}{2} \iff
+				  	\begin{cases}
+					\frac{1}{2} & \text{si $X \geq 0$ } \\
+					-\frac{1}{2} & \text{si $X < 0$.} \\
+				\end{cases}$
+			Finalement, 
+			\end{center}
+			\begin{align*}
+				P(X^{2} \geq \frac{1}{4}) & =
+				\displaystyle\int_{-1}^{-\frac{1}{2}}{F(x)}dx + \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}{F(x)}dx\\
+				&= \dfrac{u}{2}\bigg\vert_{-1}^{-\frac{1}{2}} + \dfrac{u}{2}\bigg\vert_{\frac{1}{2}}^{1}\\
+				&= -\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}-(\frac{1}{4})\\
+				&= 1 -\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
+			\end{align*}
+		\end{flushleft}
 	\end{subexo}
-	\begin{subexo}{$P(\X \in A)$ où $A = \intervalleff{-\frac{1}{2}}{0}\cup\intervalleff{\frac{3}{4}}{2}$}
+	\begin{subexo}{$P(X \in A)$ où $A = \intervalleff{-\frac{1}{2}}{0}\cup\intervalleff{\frac{3}{4}}{2}$}
+		\begin{align*}
+			P(X \in A) & =
+			\displaystyle\int_{-\frac{1}{2}}^{0}{F(x)}dx + \displaystyle\int_{\frac{3}{4}}^{1}{F(x)}dx\\
+			&= \dfrac{u}{2}\bigg\vert_{-\frac{1}{2}}^{0} + \dfrac{u}{2}\bigg\vert_{\frac{3}{4}}^{1}\\
+			&= 0-(-\frac{1}{4}) + \frac{1}{2}-(\frac{3}{8})\\
+			&= \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}
+		\end{align*}
 	\end{subexo}
 \end{exo}