tensoren_aufgaben.tex

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\begin{sheet}

\begin{problem}[title={Casimir-Elemente von euklidischen Räumen}]\label{tensoren:ex:casimir_wohldef}
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\IR$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $e_1, ..., e_n$ eine Orthonormalbasis.

\begin{subproblem}
Zeige, dass der Casimir-Tensor
\[\Omega_V := \sum_{i=1}^n e_i\otimes e_i\]
unabhängig von der Basiswahl ist, d.h. wenn $e_1', ..., e_n'$ eine weitere Orthonormalbasis von $V$ ist, dann gilt:
\[\sum_{i=1}^n e_i\otimes e_i = \sum_{i=1}^n e_i'\otimes e_i'\]

Hinweis: Orthogonale Matrizen.
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Zeige, dass $\Omega_V$ \enquote{isotrop} ist, d.h. für alle Isometrien $\rho: V\to V$ gilt: Die lineare Fortsetzung $\rho^{\otimes 2}$ von $v_1\otimes v_2 \mapsto \rho(v_1)\otimes\rho(v_2)$ erfüllt $\rho^{\otimes 2}(\Omega_V)=\Omega_V$.
Hinweis: Benutze a.
\end{subproblem}
\end{problem}

\begin{problem}[title={Casimir-Elemente allgemein}]
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum, $b_1, ..., b_n$ eine beliebige Basis von $V$ und $b_1^\ast, ..., b_n^\ast$ die dazu passende duale Basis von $V^\ast$.

\begin{subproblem}
Zeige, dass
\[\Omega := \sum_{i=1}^n b_i \otimes b_i^\ast \in V\otimes V^\ast\]
unabhängig von der Basiswahl ist.

Hinweis: Wenn $A$ eine Basiswechselmatrix zwischen zwei Basen von $V$ ist, wie sieht dann die Basiswechselmatrix der beiden dazugehörigen dualen Basen von $V^\ast$ aus?
\end{subproblem}
\begin{subproblem}
Wie entspricht das dem Casimir-Element euklidischer Räume?
\begin{enumerate}[label=\roman*.)]
\item Zeige zunächst, dass die Abbildung $V\to V^\ast, v\mapsto \braket{v,-}$ ein Isomorphismus $V\to V^\ast$ ist.
\item Was tut diese Abbildung mit einer Orthonormalbasis?
\end{enumerate}
\end{subproblem}
\end{problem}

\begin{problem}[title={Aber Tensoren sind doch so Buchstaben mit Indizes}]
	\label{ex:TensorenMitIndizes}
	Häufig wird einem von Physikern oder Ingenieuren ein Tensor lediglich als ein Buchstabe mit Indizes untergejubelt - z.B. der Spannungstensor $\sigma_{ij}$. Wir wollen verstehen, wie der Zusammenhang mit unserer Definition ist.

	Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\IR$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $e_1, ..., e_n$ eine Orthonormalbasis. Wir betrachten das $m$-fache Tensorprodukt $V^{\otimes m}$. Wer mag, kann zur Vereinfachung $n=3$ und $K=\IR$ wählen.
	\begin{subproblem}
		Einen beliebigen Tensor aus $V^{\otimes m}$ schreiben wir z.B. als $T\in V^{\otimes m}$, während er andernorts mit $T_{j_1 \cdots j_m}$ bezeichnet wird, was streng genommen nur eine Kollektion besonders nummerierter Zahlen aus $K$ ist. Wie ist der Zusammenhang zwischen $T$ und $T_{j_1 \cdots j_m}$?

		Hinweise: Von $V$ induzierte Basiswahl für $V^{\otimes m}$, Vergleiche mit einem Vektor $v\in V$ und $v_i$.
	\end{subproblem}
	\begin{subproblem}
		Ein sehr häufig verwendeter \enquote{Buchstabe mit Indizes} ist das Kronecker-$\delta$, oder auch der $\delta_{ij}$-Tensor.
		Um welchen Tensor handelt es sich hier?
		Hinweis: Übersetze in die Schreibweise mit dem Tensorprodukt $\otimes$.
	\end{subproblem}
	\begin{subproblem}
		Die Spur eines Tensors zwischen seinem $k$-ten und $l$-ten Faktor wird in Indexschreibweise als Dopplung eines bestimmten Indexes an den entsprechenden Stellen notiert, $T_{j_1\cdots j_{k-1} i j_{k+1} \cdots j_{l-1} i j_{l+1}  \cdots j_m}$, die eine Summe über $i$ von 1 bis $n$ impliziert (a.k.a. \emph{Einstein'sche Summenkonvention}). Überzeuge dich, dass dies unserer Definition von Spur entspricht.

		Üblich zum Spur nehmen ist auch eine Schreibweise mit dem Kronecker-$\delta$: \[T_{j_1\cdots j_{k-1} i j_{k+1} \cdots j_{l-1} r j_{l+1}  \cdots j_m} \delta_{ir},\] ebenfalls mit impliziter Summe über gedoppelte Indizes. Zeige, dass dies die gleiche Operation beschreibt.
	\end{subproblem}
	\begin{subproblem}
		Eine weitere häufiger zu findende Schreibweise mit dem Kronecker-$\delta$ ist die folgende:
		\[T_{j_1\cdots j_{k-1} j_{k} j_{k+1} \cdots j_{l-1} j_l j_{l+1}  \cdots j_m} \delta_{ir},\]
		was üblicherweise gekürzt wird auf $T_{j_1\cdots j_m} \delta_{j_{m+1} j_{m+2}}$. Was ist der Unterschied zu c.)? Schreibe diesen Tensor ohne Indizes auf.
	\end{subproblem}
\end{problem}

\begin{problem}[title={Was denn für Indizes?}]
	Schön, dass dir die Index-Schreibweise noch nicht begegnet ist. Da wir in unserem Kurs so wenig wie möglich mit dieser Schreibweise arbeiten wollen, kann dies zu deinem Vorteil sein.

	Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $\IR$-Vektorraum mit Skalarprodukt und $e_1, ..., e_n$ eine Orthonormalbasis. Wir betrachten das $m$-fache Tensorprodukt $V^{\otimes m}$. Wer mag, kann zur Vereinfachung $n=3$ und $K=\IR$ wählen. Zeige, dass $\tr_{ir}(T)=\tr_{i,m}\circ\tr_{r,m+2}\circ\casimir(T)$ gilt.

\end{problem}

\begin{problem}[title={Brauer-Diagramme}]
	Wir wollen uns im Folgenden anhand ein paar Beispielen überzeugen, dass die Multiplikation zweier Brauer-Diagrammen tatsächlich dem Hintereinanderausführen der dazugehörigen linearen Abbildungen entspricht.
	\begin{subproblem}
		Schreibe die Brauer-Diagramme von den beiden Abbildungen $\Pi_\sigma$ und $\casimir$ aus Gleichung \ref{eq:sigmaOfCasimir} auf und berechne das Brauer-Diagramm der  Abbildung $\Pi_\sigma \circ\casimir$.
	\end{subproblem}
	\begin{subproblem}
		Wir haben für die Multiplikation zweier Brauer-Diagramme definiert, dass für jeden geschlossenen Kreis das Ergebnis-Diagramm mit dem Faktor $\dim{V}$ multipliziert wird. Dieser Faktor muss so festgelegt werden, um Brauer-Diagramme als äquivalente Schreibweise für die vorgestellten linearen Abbildungen zwischen Tensoren benutzen zu können. Warum?
		
		Hinweis: Spur vom Casimir-Element
	\end{subproblem}
	\begin{subproblem}
		Gegeben seien die folgenden Brauer-Diagramme:
		\begin{align*}
			B_5&=\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}]
				\foreach\x in {1,2,...,4}{
					\node[v] (s\x) at (\x,1){};
				}
				\foreach\x in {1,2,...,6}{
					\node[v] (h\x) at (\x,0){};
				}
				\foreach\x in {1,2}{
					\draw (s\x) to (h\x);
				}
			\draw (s3) to (h5);
			\draw (s4) to (h6);
			\draw (h3) to [bend left=30] (h4);
			\end{tikzpicture}
			&
			B_7&= 
			\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}]
				\foreach\x in {1,2,...,6}{
					\node[v] (h\x) at (\x,0){};
				}
				\foreach\x in {1,3,4,6}{
					\node[v] (s\x) at (\x,1){};
				}
				\foreach\x in {1,3,4,6}{
					\draw (s\x) to (h\x);
				}
				\draw (h2) to [bend left=30] (h5);
			\end{tikzpicture}
			\\ \\ \\
			B_6&=
			\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}]
				\foreach\x in {1,2,...,4}{
					\node[v] (h\x) at (\x,0){};
				}
				\foreach\x in {1,2,...,6}{
					\node[v] (s\x) at (\x,1){};
				}
				\draw (s1) to (h1);
				\draw (s4) to (h2);
				\draw (s5) to (h3);
				\draw (s6) to (h4);
				\draw (s2) to [bend right=30] (s3);
			\end{tikzpicture}
			\hspace{1cm}
			&
			B_8&=
			\begin{tikzpicture}[baseline={([yshift=-.5ex]current bounding box.center)}]
				\foreach\x in {1,2,...,4}{
					\node[v] (h\x) at (\x,0){};
				}
				\foreach\x in {1,2,...,6}{
					\node[v] (s\x) at (\x,1){};
				}
				\foreach\x in {1,2,...,4}{
					\draw (s\x) to (h\x);
				}
				\draw (s5) to [bend right=30] (s6);
			\end{tikzpicture}
		\end{align*}
		Zeige, dass das Ergebnis der Multiplikation $B_6\circ B_5$ der linearen Abbildung, die durch Hintereinanderausführen von $B_5$ und $B_6$ gegeben ist, entspricht. Zeige dies auch für $B_7 \circ B_8$.
	\end{subproblem}
\end{problem}


\begin{problem}[title={Vom Sinn und Unsinn der Basen}]
\begin{subproblem}
Anna und Bernd stehen einer flachen Wand gegenüber. Anna hat die Position $(9.5, 4,0)^T$ und  einen Ball in der Hand. Bernd steht bei $(5.5, 2, 0)^T$ und die Wand hat Normalengleichung \[2x-1.5y = 12.5\] mit Normalenvektor $\vc{n}=(2,-1.5,0)^T$ und Stützvektor $\vc{p}=(4,-3,0)^T$. 

\smallbreak
Anna möchte Bernd den Ball so zuwerfen, dass er einmal an der Wand abprallt und dann in Bernds Händen landet. Dabei soll der Ball den Boden nicht berühren. Berechne die Trajektorie vom Ball und die Kraft, mit der Anna den Ball abwerfen muss unter der Annahme von Reibungsfreiheit, Vakuum etc.
\end{subproblem}

Wir wollen jetzt nicht die Lösung für dieses Problem finden, sondern vielmehr fragen: Ist die hier gewählte Basis zur Beschreibung der Ausgangssituation oder für die Berechnung hilfreich? Wäre es nicht viel einfacher, die Situation basisfrei zu beschreiben? Wie sähe eine solche Beschreibung aus?

\smallbreak
Die Frage selbst können wir basisfrei z.B. so formulieren:
\begin{subproblem}
Anna und Bernd stehen 2.5 Meter voneinander entfernt in einer ebenen Wiese einer flachen Wand gegenüber. Beide haben einen Abstand zur Wand von 5 Metern. Anna hat einen Ball in der Hand und möchte ihn Bernd so zuwerfen, dass er einmal an der Wand abprallt und dann in Bernds Händen landet. Dabei soll der Ball den Boden nicht berühren. Berechne die Trajektorie vom Ball und die Kraft, mit der Anna den Ball abwerfen muss unter der Annahme von Reibungsfreiheit, Vakuum etc.
\end{subproblem}

Welche Basis würde man am ehesten wählen, um diese Aufgabe zu lösen und warum? Welche Wahlfreiheiten haben wir? Gibt es mehr als eine sinnvolle Basis?
\end{problem}

\begin{problem}[title={Wilde Behauptungen}, difficulty={schwer}]
Im Skript wurde behauptet:

\enquote{alle physikalisch sinnvollen Dinge [sind] von sich aus basisfrei und somit zwangsläufig auch basisfrei berechenbar, wenn sie überhaupt berechenbar sind}

Überzeuge dich davon, dass das nicht nur so daher gesagt ist, sondern ein beweisbarer Fakt ist. Insbesondere ist hier als Teilbehauptung enthalten: Es ist möglich, physikalisch sinnvolle Daten (sowohl die Input- als auch Output-Daten der Berechnung) basisfrei so zu repräsentieren, dass damit immer noch Berechnungen möglich sind.

\medbreak
\textcolor{red}{(Und es sei erneut davor gewarnt, dass \enquote{berechnen} nicht \enquote{effizient berechnen} bedeutet)}
\end{problem}


\begin{problem}[title={Komplexifizierung}]
Offensichtlich ist $\IR^n$ eine Teilmenge eines $\IC$-Vektorraums, nämlich $\IC^n$. Dies tritt häufiger auf: Der $\IR$-Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten $\IR[x_1,\ldots,x_n]$ Teilmenge des $\IC$-Vektorraums der Polynome mit komplexen Koeffizienten $\IC[x_1,\ldots,x_n]$, der $\IR$-Vektorraum der (stetigen/differenzierbaren/...) Funktionen $X\to\IR$ ist Teilmenge des $\IC$-Vektorraums der (stetigen/differenzierbaren/...) Funktionen $X\to\IC$.

\smallbreak
Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das kein Zufall ist, sondern dass wir jeden $\IR$-Vektorraum auf natürliche, basisfreie Weise als Teilmenge eines $\IC$-Vektorraums betrachten können, der sich \enquote{nur durch die Wahl der Koeffizienten von $V$ unterscheidet}.

\begin{subproblem}
Vorbereitung: Erinnere dich daran, dass $\IC$ auch als $\IR$-Vektorraum aufgefasst werden kann.

Allgemeiner: Erinnere dich daran, dass jeder $\IC$-Vektorraum auch als $\IR$-Vektorraum aufgefasst werden kann. (Dies nennt man \udot{Restriktion der Skalare})
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Definiere die \udot{Komplexifizierung} $V_\IC$ (auch \udot{Skalarerweiterung} genannt) als den folgenden $\IC$-Vektorraum: Seine Elemente sind dieselben wie die des $\IR$-Vektorraums $\IC\otimes_\IR V$ (=Tensorprodukt von $\IR$-Vektorräumen). Die Addition ist auch die des Tensorprodukts. Die Multiplikation mit Skalaren ist hingegen gegeben durch
\[\forall z,w\in\IC, v\in V: z\cdot(w\otimes v) := (zw)\otimes v\]
Zeige, dass diese Addition und Skalarmultiplikation wirklich einen $\IC$-Vektorraum definiert.
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Überzeuge dich davon, dass die obigen Beispiele alle Komplexifizierungen sind.
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Zeige, dass Skalarerweiterung die Dimension erhält in folgendem Sinne: $\dim_\IR(V) = \dim_\IC(V_\IC)$ (Wer es für nötig erachtet, darf sich wieder \enquote{für endlich-dimensionale $V$} dazudenken). Präziser: Zeige, dass $\set{1\otimes b | b\in B}$ eine $\IC$-Basis von $V_\IC$ ist, wenn $B$ eine $\IR$-Basis von $V$ ist.
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Was tut Restriktion der Skalare hingegen mit der Dimension?
\end{subproblem}

\begin{subproblem}
Komplexifizierung ist \enquote{funktoriell}, also mit linearen Abbildungen verträglich: Ist $f:V\to W$ eine $\IR$-lineare Abbildung, dann ist $f_\IC: V_\IC\to W_\IC, z\otimes v \mapsto z\otimes f(v)$ eine $\IC$-lineare Abbildung. Es gilt $(\id_V)_\IC=\id_{V_\IC}$ und $(f\circ g)_\IC=f_\IC\circ g_\IC$.
\end{subproblem}
\end{problem}

\end{sheet}