gruppen.tex

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\subsection{Gruppen}

\begin{definition}[Gruppen und Gruppenhomomorphismen]\label{gruppen:def}
Eine \udot{Gruppe} $(G,\cdot)$ besteht aus
\begin{itemize}
	\item einer Menge $G$,
	\item einer Abbildung $\cdot: G\times G, (g,h) \mapsto g\cdot h$, genannt \emph{Multiplikation},
\end{itemize}
die die Gruppen-Axiome in Tabelle \ref{gruppen:def_table} erfüllen.

\begin{table}[!ht]
	\setlength\extrarowheight{10pt} % for a bit of visual "breathing space"
	\begin{tabularx}{\textwidth}{p{7cm} X}
		
		\toprule
		\textbf{Gruppen-Axiome}                               & \textbf{Bedeutung} \\
		\midrule
        \hspace{1cm}Assoziativität                           & $\forall g_1,g_2,g_3\in G: g_1\cdot(g_2\cdot g_3) = (g_1\cdot g_2)\cdot g_3$ \\
		\hspace{1cm}Neutrales Element bzw. \enquote{Eins}    & $\exists 1\in V\forall g\in G: g\cdot 1 = g = 1\cdot g$  \\
		\hspace{1cm}Inverse Elemente                         & $\forall g \in G\exists h \in G: g\cdot h = 1 = h\cdot g$ \\
		Optional kann gelten & \\
        \hspace{1cm}Kommutativität (\emph{abelsche Gruppe})  & $\forall g,h\in G: g\cdot h=h\cdot g$ \\
        \textbf{Axiom von Gruppenhomomorphismen}             & \textbf{Bedeutung} \\
        \midrule
        Verträglichkeit mit Multiplikation & $\forall g,h\in G: f(g\cdot h) = f(g)\cdot f(h)$ \\
        \bottomrule
	\end{tabularx}
	\caption{Definierende Eigenschaften von Gruppen und Gruppenhomomorphismen}
    \label{gruppen:def_table}
\end{table}

Sind $G,H$ zwei Gruppen und $f: G\to H$ eine Abbildung, so heißt $f$ \emph{Gruppenhomomorphismus}, falls sie mit den beiden Multiplikationen verträglich ist.

Existiert ein Homomorphismus $f': W\to V$ mit $f\circ f'=f'\circ f=\id$, so nennt man $f$ \emph{Isomorphismus} der Gruppen.
\end{definition}

\begin{example}
Wir interessieren uns vor allem für bestimmte Symmetriegruppen. Diese treten meist als \enquote{Menge aller bijektiven Abbildungen $X\to X$ mit [Zusatzeigenschaft]} mit der Komposition als Gruppenverknüpfung auf. Das neutrale Element ist dann immer die Identität $\id_X$, das inverse Gruppenelement ist dann immer die Umkehrabbildung.

Konkret kommen folgende Gruppen bei uns vor:
\begin{itemize}
\item Für jede natürliche Zahl die \udot{symmetrische Gruppe} oder \udot{Gruppe aller Permutationen}
\[S_n := \Set{f: \set{1,\ldots,n}\to\set{1,\ldots,n} | f\,\text{bijektiv}}\]
\item Für jeden Vektorraum $X$ die \udot{allgemeine lineare Gruppe}
\[GL(X):=\Set{f: X\to X | f\,\text{linear und invertierbar}}\]
und die \udot{spezielle lineare Gruppe} $SL(X):=\Set{f\in GL(X) | \det(f)=1}$
\item Für jeden $\IR$-Vektorraum $X$, auf dem wir ein Skalarprodukt gegeben haben, die \udot{orthogonale Gruppe} oder \udot{Gruppe der Isometrien}.
\begin{align*}
O(X) &:= \Set{f: X\to X | \forall x\in X: \norm{f(x)}=\norm{x}}\\
&=\Set{f: X\to X | \forall x,x'\in X: \braket{f(x),f(x')}=\braket{x,x'}}
\end{align*}
und die \udot{spezielle orthogonale Gruppe} oder \udot{Gruppe der Drehungen} $SO(X) := O(X) \cap SL(X)$.
\item Für jeden $\IC$-Vektorraum, auf dem wir ein komplexes Skalarprodukt gegeben haben, analog auch die \udot{unitäre Gruppe}
\begin{align*}
U(X) &:= \Set{f: X\to X | \forall x\in X: \norm{f(x)}=\norm{x}}\\
&=\Set{f: X\to X | \forall x,x'\in X: \braket{f(x),f(x')}=\braket{x,x'}}
\end{align*}
und die \udot{spezielle unitäre Gruppe} $SU(X) := U(X) \cap SL(X)$.
\end{itemize}
Alle orthogonalen/unitären Gruppen von Räumen gleicher Dimension sind isomorph, deshalb schreiben wir auch $(S)O_n$ bzw. $(S)U_n$, wenn wir die orthogonale/unitäre Gruppe eines $n$-dimensionalen Raums meinen.
\end{example}